《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例1 从3名男生和2名女生中随机抽取学生,求下列事件的概率：
(1)抽取1名,恰好是女生；
(2)抽取2名,恰好是1名男生和1名女生。
【思路导析】抽取男生分别用$A_1$,$A_2$,$A_3$表示,抽取女生分别用$B_1$,$B_2$表示,列举所有情况再运用$P(A)= \frac{m}{n}$计算。
【请你解答】

答案：
(1)$P$(一女生)$=\frac{2}{5}$;
(2)列举所有均等结果：$A_{1}B_{1},A_{1}B_{2},A_{2}B_{1},A_{2}B_{2},A_{3}B_{1},A_{3}B_{2},A_{1}A_{2},A_{1}A_{3},$$A_{2}A_{3},B_{1}B_{2}$,共10种情况,$P$(一男一女)$=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.

例

2 三人抽奖,按甲、乙、丙的顺序抽取,每人抽1张,奖品有2份,抽取1号或3号中奖。
(1)写出所有可能的结果；
(2)甲、乙、丙三人的中奖机会均等吗？为什么？
【思路导析】(1)这里用列举法,设甲抽到1,那么乙、丙可能有两种：①乙抽2,丙抽3；②乙抽3,丙抽2。一一列举出来。(2)从列举情况中求甲、乙、丙的中奖概率,再作判断。
【请你解答】

答案：

(1)共6种情况见下表:

(2)$P$(甲中奖)$=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$,$P$(乙中奖)$=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$,$P$(丙中奖)$=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$,甲、乙、丙中奖机会均等.

例3 如图,随机闭合开关$S_1$、$S_2$、$S_3$中的两个,求能让灯泡发光的概率。

答案：
【探究点拨】列举闭合两个开关的所有情况,只有闭合$S_1S_3$,$S_3S_1$,$S_2S_3$,$S_3S_2$时灯泡才会发光。
【规范解答】连续闭合两个开关的情况列举如下：

所有可能的结果有6种,它们都是等可能发生的,而其中只有4种情况灯泡发光。
$\therefore P(灯泡发光)= \frac{4}{6}= \frac{2}{3}$。

1. 从$-1$,$-\frac{1}{2}$,1这三个数中任取两个不同的数作为点$A$的坐标,则点$A$在第二象限的概率是(B)
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$

答案： B

2. 如图,已知数轴上的点$A$,$B$,$C$,$D表示的数分别为-4$,$-3$,$-\sqrt{3}$,$0.5$,从$A$,$B$,$C$,$D$四点中任意取两点,则所取两点之间的距离大于2的概率是$\frac{2}{3}$。

答案： $\frac{2}{3}$

3. 从$-1$,1,2这三个数中,第1次取一个数作为一次函数$y = kx + b的系数k$,第2次取一个数作为$b$,求一次函数$y = kx + b$的图象不经过第四象限的概率。

答案： 运用列举法,当$k=-1$时,$b=1$或2;当$k=1$时,$b=-1$或2;当$k=2$时,$b=-1$或1,不过第四象限,则$k\geqslant0$,$b＞0$,故$k=1$,$b=2$,或$k=2$,$b=1$时,一次函数的图象不过第四象限.$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.