《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. (1)正三角形的边长为 a,则它的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}a$,边心距为______$\frac{\sqrt{3}}{6}a$；
(2)正三角形的中心角为$120°$,正方形的中心角为______$90°$,正六边形的中心角为______$60°$。

答案：
(1)$\frac{\sqrt{3}}{3}a$,$\frac{\sqrt{3}}{6}a$;
(2)$120°$,$90°$,$60°$

2. 正六边形的边心距为 2,则其边长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,周长为$8\sqrt{3}$。

答案： $\frac{4\sqrt{3}}{3}$,$8\sqrt{3}$

3. 如图,工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽,现测得扳手的开口宽度 b = 3 cm,则螺帽边长 a = $\sqrt{3}$ cm。

答案： $\sqrt{3}$

4. 下列说法,不正确的是(B)
A.正 n 边形的中心角为 $\frac{360^{\circ}}{n}$
B.各角相等的多边形是正多边形
C.各边相等、各角相等的多边形是正多边形
D.各边相等的圆内接多边形是正多边形

答案： B

5. 如图,求中心点为原点,顶点 A,D 在 x 轴上,半径为 2 cm 的正六边形 ABCDEF 的各顶点的坐标。

答案： A$(-2,0)$,B$(-1,-\sqrt{3})$,C$(1,-\sqrt{3})$,D$(2,0)$,E$(1,\sqrt{3})$,F$(-1,\sqrt{3})$.

6. 如图,正方形 ABCD 的外接圆为⊙O,点 P 在劣弧 CD 上(不与 C 点重合)。
(1)求∠BPC 的度数；
(2)若⊙O 的半径为 8,求正方形 ABCD 的边长。

答案：
(1)连接OB,OC.$\because$四边形ABCD为正方形,
$\therefore \angle BOC=90°$,$\therefore \angle P=\frac{1}{2}\angle BOC=45°$,即$\angle BPC=45°$.
(2)依题意,在$Rt\triangle BOC$中,$OB=OC=8$,$\angle BOC=90°$,$\therefore BC=\sqrt{OC^2+OB^2}=8\sqrt{2}$.

7. 如图,外接圆半径相等的正三角形、正六边形的边长之比为多少？

答案： 设正三角形、正六边形外接圆半径为R.
正三角形边心距为$\frac{R}{2}$.
边长$CE=2\sqrt{R^2-\left(\frac{R}{2}\right)^2}=2\sqrt{\frac{4R^2-R^2}{4}}=\sqrt{3}R$.
正六边形边长等于半径R.
正三角形与正六边形的边长之比为$\sqrt{3}R:R=\sqrt{3}:1$.

8. 如图,在△AFG 中,AF = AG,∠FAG = 108°,点 C,D 在 FG 上,且 CF = CA,DG = DA,过点 A,C,D 的圆分别交 AF,AG 于点 B,E。求证：五边形 ABCDE 是正五边形。

答案： $\because AF=AG$,$\angle FAG=108°$,$\therefore \angle F=\angle G=36°$,$\because CF=CA$,$DG=DA$,$\therefore \angle FAC=\angle GAD=36°$.$\therefore \angle CAD=36°$,$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$.$\therefore BC=CD=DE$.$\because \angle ACD=\angle FAC+\angle F=72°$,$\therefore$易得$AD=2DE$,$\therefore AE=DE$.
$\therefore AE=DE$.同理可得$AB=BC$.$\therefore AB=BC=CD=DE=EA$.即圆内接五边形ABCDE是正五边形.