《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例 1 下列方程是一元二次方程的是(A)
A.$x^{2}-4x - 2 = 0$
B.$\frac{3}{x^{2}-x}= 1$
C.$2x^{2}-xy - 5 = 0$
D.$2x^{2}= (x - 3)(2x - 1)$
【思路导析】一元二次方程必须同时满足以下三个条件：①方程中只含有一个未知数；②未知数的最高次数是 2；③原方程是关于未知数的整式方程。
B 项的左边是关于 $x$ 的分式,不是整式方程；C 项中含有两个未知数,不是一元方程；D 项经过化简整理后为$-7x + 3 = 0$,它是一元一次方程。
【请你解答】______.

答案： A

例

2 关于 $x$ 的方程 $3x(x - 2)= 2(x - 2)$中,它的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(C)
A.$0$,$3$,$2$
B.$0$,$3$,$-2$
C.$3$,$-8$,$4$
D.$3$,$-8$,$-4$
【思路导析】原方程可化为 $3x^{2}-8x + 4 = 0$。
【请你解答】______.

答案： C

例 3 关于 $x$ 的方程 $(m + 2)x^{\vert m\vert}-2x - 1 = 0$是一元二次方程,则 $m$ 的值为2.
【思路导析】$\vert m\vert=2$,且 $m + 2\neq0$。
【请你解答】2.

答案： 2

例 4 一个矩形的长比宽多 $4cm$,其面积为 $100cm^{2}$,设矩形的长为 $x cm$,列出关于 $x$ 的一元二次方程,并化为一般形式。

答案： 【探究点拨】矩形的长为 $x cm$,则宽为$(x - 4)cm$,根据矩形的面积公式可列出关于 $x$ 的方程。
【规范解答】矩形的长为 $x cm$,则宽为$(x - 4)cm$,依题意有 $x(x - 4)= 100$。
去括号,得 $x^{2}-4x = 100$,
移项,得 $x^{2}-4x - 100 = 0$。

1. 在一幅长为 $60dm$、宽为 $40dm$ 的宣传海报四周镶上相同宽度的金色纸片制成一幅矩形挂图. 要使整个挂图的面积为 $2800dm^{2}$,设纸片的宽为 $x dm$,则可列出方程为(C)
A.$x^{2}+100x - 400 = 0$
B.$x^{2}-100x - 400 = 0$
C.$x^{2}+50x - 100 = 0$
D.$x^{2}-50x - 100 = 0$

答案： C

2. 已知关于 $x$ 的方程 $(m-\sqrt{3})x^{m^{2}-1}-x = 3$.
(1)$m$ 为何值时,该方程是关于 $x$ 的一元一次方程？
(2)$m$ 为何值时,该方程是关于 $x$ 的一元二次方程？

答案： $(1)$求$m$为何值时，方程是一元一次方程
解：
一元一次方程的一般形式为$ax + b = 0$（$a\neq0$）。
对于方程$(m - \sqrt{3})x^{m^{2}-1}-x = 3$，可变形为$(m - \sqrt{3})x^{m^{2}-1}-x - 3=0$。
分情况讨论：
当$m^{2}-1 = 1$且$m - \sqrt{3}-1\neq0$时：
由$m^{2}-1 = 1$，即$m^{2}=2$，解得$m=\pm\sqrt{2}$。
当$m - \sqrt{3}=0$时，原方程化为$-x = 3$，是一元一次方程，此时$m = \sqrt{3}$。
综上，当$m=\sqrt{3}$或$m = \pm\sqrt{2}$时，该方程是关于$x$的一元一次方程。
$(2)$求$m$为何值时，方程是一元二次方程
解：
一元二次方程的一般形式为$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$）。
对于方程$(m - \sqrt{3})x^{m^{2}-1}-x = 3$，即$(m - \sqrt{3})x^{m^{2}-1}-x - 3=0$。
当$\begin{cases}m^{2}-1 = 2\\m - \sqrt{3}\neq0\end{cases}$时：
由$m^{2}-1 = 2$，得$m^{2}=3$，解得$m=\pm\sqrt{3}$，又因为$m - \sqrt{3}\neq0$，所以$m =-\sqrt{3}$。
综上，当$m =-\sqrt{3}$时，该方程是关于$x$的一元二次方程。