《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 在一元二次方程 $2x^{2}-5x = 3$ 中,二次项系数为2,一次项系数为-5,常数项为-3.

答案： 2,-5,-3

2. 关于 $x$ 的一元二次方程 $2x(x - 3)= 3(x + 7)-4$ 的一般形式是$2x^{2}-9x-17=0$,它的二次项系数是2,一次项系数是-9,常数项是-17.

答案： $2x^{2}-9x-17=0$,2,-9,-17

3. 关于 $x$ 的方程 $(a - 1)x^{2}+\sqrt{a + 1}x + 2 = 0$ 是一元二次方程,则 $a$ 的取值范围是$a\geqslant -1$且$a\neq 1$.

答案： $a\geqslant -1$且$a\neq 1$

4. 某三角形的底边比该底边上的高长 $3cm$,三角形的面积为 $112cm^{2}$,设高为 $x cm$,则可列关于 $x$ 的方程为$\frac{(x+3)x}{2}=112$.

答案： $\frac{(x+3)x}{2}=112$

5. 下列方程中,一定是一元二次方程的是(C)
A.$ax^{2}+bx + c = 0$
B.$(y + 3)(y - 2)= y^{2}+5$
C.$z^{2}-5z + 3 = 0$
D.$x+\frac{3}{x}= 4$

答案： C

6. 把方程 $(3x - 2)(x - 1)= x(2x + 1)$ 化为一般形式,正确的是(A)
A.$x^{2}-6x + 2 = 0$
B.$x^{2}-6x = 2$
C.$2x^{2}-6x + 2 = 0$
D.$3x^{2}-6x - 2 = 0$

答案： A

7. 关于 $x$ 的方程 $ax^{2}-(a - 2)x + 5 = 0$ 是一元二次方程,则 $a$ 的取值范围是(C)
A.$a\neq0$ 且 $a\neq2$
B.$a\neq0$ 或 $a\neq2$
C.$a\neq0$
D.$a = 0$ 或 $a = 2$

答案： C

8. 把下列方程化为一元二次方程的一般形式,并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)$2x^{2}= 1 - 3x$；
(2)$(x - 2)^{2}= 6x^{2}+4$；
(3)$5x(x - 2)= 4x^{2}-3x$.

答案：
(1)$2x^{2}+3x-1=0$,二次项系数为2,一次项系数为3,常数项为-1.
(2)$5x^{2}+4x=0$,二次项系数为5,一次项系数为4,常数项为0.
(3)$x^{2}-7x=0$,二次项系数为1,一次项系数为-7,常数项为0.

9. 已知关于 $x$ 的方程 $(a^{2}-a)x^{2}+ax + a^{2}-1 = 0$.
(1)当 $a$ 为何值时,方程是一元一次方程？
(2)当 $a$ 为何值时,方程是一元二次方程？

答案： 1. （1）
解：对于方程$(a^{2}-a)x^{2}+ax + a^{2}-1 = 0$是一元一次方程，则二次项系数$a^{2}-a = 0$，且一次项系数$a\neq0$。
由$a^{2}-a = 0$，因式分解得$a(a - 1)=0$，即$a = 0$或$a = 1$。
又因为$a\neq0$，所以$a = 1$。
2. （2）
解：对于方程$(a^{2}-a)x^{2}+ax + a^{2}-1 = 0$是一元二次方程，则二次项系数$a^{2}-a\neq0$。
由$a^{2}-a\neq0$，因式分解得$a(a - 1)\neq0$，所以$a\neq0$且$a\neq1$。
综上，（1）当$a = 1$时，方程是一元一次方程；（2）当$a\neq0$且$a\neq1$时，方程是一元二次方程。

10. 关于 $x$ 的方程 $(k - 3)x^{\vert k - 1\vert}-5x = 2$ 是一元二次方程,求 $k$ 的值.

答案： 依题意有$\left\{\begin{array}{l} k^{2}-1=0\\ |k-1|=2\\ k-3\neq 0\end{array}\right. $,$\therefore k=-1$.

11. 超市销售某品牌童装,平均每天可售出 30 件,每件盈利 40 元. 由于商品积压,超市决定降价销售,每件童装每降价 1 元,平均每天就多售出 3 件,要使平均每天销售该品牌童装的利润为 1000 元,那么每件童装应降价 $x$ 元,列出关于 $x$ 的一元二次方程,并化为一般形式.
解：设每件童装降价 $x$ 元,则每天多销售3x件.
降价后每天销售$(30+$3x)件,每件利润为$(40 - x)$元,列方程为
(30+3x)$(40 - x)= 1000$.
整理得3x²-90x-200=0.

答案： 3x,3x,$30+3x$,$3x^{2}-90x-200=0$