《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例 1 下列关于 $ x $ 的各组值中,是方程 $ (x - 1)(x - 8) = - 12 $ 的根的是(C)
A.$ x = - 2 $ 或 $ x = 12 $
B.$ x = - 3 $ 或 $ x = 11 $
C.$ x = 4 $ 或 $ x = 5 $
D.$ x = - 5 $ 或 $ x = 10 $
【思路导析】将 $ x = - 2,12,-3,11,4,5,-5,10 $ 分别代入方程,看其左、右两边的值是否相等,相等的 $ x $ 的值就是原方程的解.
【请你解答】______.

答案： C

例 2 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a - 1)x^{2} + x + a^{2} - 1 = 0 $ 有一根为 $ 0 $,求 $ a $ 的值.
【思路导析】将 $ x = 0 $ 代入方程 $ (a - 1)x^{2} + x + a^{2} - 1 = 0 $ 中,求出 $ a $ 的值,同时注意所求的 $ a $ 的值满足“$ a - 1 \neq 0 $”。
【请你解答】

答案： a=-1

例

3 已知 $ a $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x^{2} - x - 1 = 0 $ 的一个根,求下列各代数式的值.
(1) $ a - \frac{1}{a} $；
(2) $ 2022 - a^{3} + 2a^{2} $.

答案： 【探究点拨】因为 $ a $ 是方程 $ x^{2} - x - 1 = 0 $ 的一个根,所以 $ a^{2} - a - 1 = 0 $,然后对所求代数式进行适当变形,再代入求值.
【规范解答】
(1) 因为 $ a $ 是方程 $ x^{2} - x - 1 = 0 $ 的一个根,所以 $ a^{2} - a - 1 = 0 $,所以 $ a^{2} - 1 = a $.
因为 $ a \neq 0 $,所以 $ \frac{a^{2} - 1}{a} = 1 $,即 $ a - \frac{1}{a} = 1 $.
(2) 因为 $ a^{2} - a - 1 = 0 $,
所以 $ a^{2} = a + 1,a^{2} - a = 1 $,
所以 $ 2022 - a^{3} + 2a^{2} $
$ = 2022 - a^{2} \cdot a + 2a^{2} $
$ = 2022 - a(a + 1) + 2(a + 1) $
$ = 2022 - a^{2} - a + 2a + 2 $
$ = 2024 - a^{2} + a $
$ = 2024 - (a^{2} - a) $
$ = 2023 $.

1. 已知 $ 2 $ 是关于 $ x $ 的方程 $ \frac{3}{2}x^{2} - 2a = 0 $ 的一个解,则 $ 2a - 1 $ 的值为(C)
A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ 5 $
D.$ 6 $

答案： C

2. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + 5 = 0(a \neq 0) $ 的一个解为 $ x = 1 $,则 $ 3 - a - b $ 的值为(A)
A.$ 8 $
B.$ 2 $
C.$ 4 $
D.$ 12 $

答案： A

3. 已知 $ k $ 是方程 $ x^{2} - 3x + 1 = 0 $ 的一个根 $ (k \neq 0) $,求 $ k^{2} - 2k + \frac{3}{k^{2} + 1} $ 的值. 完成下列填空：
解：$ k $ 是方程 $ x^{2} - 3x + 1 = 0 $ 的一个根,
则 $ k^{2} + 1 = 3k,k^{2} - 3k = $$-1$.
由 $ k \neq 0 $ 得 $ k - 3 + \frac{1}{k} = 0 $,
所以 $ k + \frac{1}{k} = $$3$.
$ k^{2} - 2k + \frac{3}{k^{2} + 1} $
$ = k^{2} - 3k + k + \frac{3}{( $$3k$$) $
$ = $$-1$$ + k + $$\frac{1}{k}$
$ = $$2$.

答案： $-1,3,3k,-1,\frac{1}{k},2$