《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例 1 在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象：$ y = -\frac{1}{2}x^2 $,$ y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + 1 $。
列表：

描点、连线画图象：

完成上述表格,画出 $ y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + 1 $ 的图象,并写出各自的顶点坐标。
列表:−2,−$\frac{9}{2}$;−$\frac{7}{2}$,$\frac{1}{2}$
y=−$\frac{1}{2}$x²的顶点为(0,0),
y=−$\frac{1}{2}$(x−1)²+1的顶点为(1,1).

答案： 列表:−2,−$\frac{9}{2}$;−$\frac{7}{2}$,$\frac{1}{2}$
y=−$\frac{1}{2}$x²的顶点为(0,0),
y=−$\frac{1}{2}$(x−1)²+1的顶点为(1,1).

例 2 已知抛物线 $ y = -\frac{1}{3}(x + 1)^2 - 4 $。
(1) 写出其顶点坐标、对称轴、开口方向；
(2) $ x $ 为何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？
(3) $ x = $ -1时,$ y $ 的最大值为-4。
(1)顶点坐标为(−1,−4),对称轴x=−1,开口向下;
(2)x＞−1时,y随x增大而减小;

答案：
(1)顶点坐标为(−1,−4),对称轴x=−1,开口向下;
(2)x＞−1时,y随x增大而减小;
(3) -1,大,−4

例

3 已知二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的图象的顶点为 $ P(1, 4) $,且过点 $ (2, 2) $。
(1) 试确定 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的解析式；
(2) 求将(1)中的抛物线向左平移 $ 1 $ 个单位长度,向下平移 $ 4 $ 个单位长度得到的抛物线的解析式；
(3) 设(1)中的抛物线与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,且点 $ A $ 在点 $ B $ 的右边,求 $ A $,$ B $ 两点的坐标,并求 $ \triangle APB $ 的面积。

答案：

【探究点拔】

(1)把$P(1,4)$和$(2,2)$代入$y = a(x - h)^{2}+k$可以确定解析式；

(2)确定新抛物线的顶点；

(3)先求点$A$，$B$的坐标，再求面积。

【规范解答】

(1)把顶点$P(1,4)$和点$(2,2)$代入$y = a(x - h)^{2}+k$，得$2 = a(2 - 1)^{2}+4$，解得$a = - 2$。解析式为$y=-2(x - 1)^{2}+4$。

(2)把$P(1,4)$向左平移$1$个单位长度，向下平移$4$个单位长度就得$(0,0)$，所以新抛物线的顶点为$(0,0)$，解析式为$y=-2x^{2}$。

(3)令$-2(x - 1)^{2}+4 = 0$，

得$x_{1}=1+\sqrt{2}$，$x_{2}=1-\sqrt{2}$。

$\therefore A(1+\sqrt{2},0)$，$B(1-\sqrt{2},0)$。

$\therefore S_{\triangle APB}=\frac{1}{2}×(1+\sqrt{2}-1+\sqrt{2})×4 = 4\sqrt{2}$。

1. 将抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 先向下平移 $ 2 $ 个单位长度,再向左平移 $ 2 $ 个单位长度,所得抛物线的解析式为 y=$\frac{1}{2}$(x+2)²−2。

答案： y=$\frac{1}{2}$(x+2)²−2

2. 关于抛物线 $ y = -3(x - 2)^2 + 5 $,下列说法中不正确的是(C)
A.顶点坐标为 $ (2, 5) $
B.开口向下,对称轴为 $ x = 2 $
C.当 $ x ＞ 2 $ 时 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
D.当 $ x = 2 $,$ y $ 有最大值 $ 5 $

答案： C