《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 图中两个四边形是位似图形,它们的位似中心是点P。

答案： 点P

2. 已知 $\triangle ABC$,以点 $A$ 为位似中心,作出 $\triangle ADE$,使 $\triangle ADE$ 是 $\triangle ABC$ 放大 $2$ 倍的图形,这样的图形可以作出两个。

答案： 两

3. 如图,矩形 $ABCD$ 与矩形 $AB'C'D'$ 是位似图形,$A$ 为位似中心,已知矩形 $ABCD$ 的周长为 $24$,$BB' = 4$,$DD' = 2$,则矩形 $ABCD$ 的面积为32。

答案： 32

4. 如图所示,四边形木框 $ABCD$ 在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形 $A'B'C'D'$,若 $AB:A'B' = 1:2$,则四边形 $ABCD$ 的面积：四边形 $A'B'C'D'$ 的面积为(D)

A.$4:1$
B.$\sqrt{2}:1$
C.$1:\sqrt{2}$
D.$1:4$

答案： D

5. 按以下方法将 $\triangle ABC$ 的三边缩小为原来的 $\frac{1}{2}$,如图,任取一点 $O$,连接 $AO$,$BO$,$CO$ 并取它们的中点 $D$,$E$,$F$,连接 $DE$,$DF$,$EF$ 得 $\triangle DEF$,则下列说法正确的个数是(D)
① $\triangle ABC$ 与 $\triangle DEF$ 是位似图形；② $\triangle ABC$ 与 $\triangle DEF$ 是相似图形；③ $\triangle ABC$ 与 $\triangle DEF$ 周长的比为 $2:1$；④ $\triangle ABC$ 与 $\triangle DEF$ 面积的比为 $4:1$。

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： D

6. 用直尺画出图中位似图形的位似中心。

答案：
如图所示

7. 如图,图中的小方格都是边长为 $1$ 的正方形,$\triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 是关于点 $O$ 为位似中心的位似图形,它们的顶点都在小正方形的顶点上。
(1) 画出位似中心点 $O$；
(2) 求出 $\triangle A'B'C'$ 与 $\triangle ABC$ 的相似比；
(3) 以点 $O$ 为位似中心,再画一个 $\triangle A_1B_1C_1$,使它与 $\triangle ABC$ 的相似比等于 $1.5$。

答案：

(1)如图　
(2)相似比为2　
(3)如图

8. 如图,正三角形 $ABC$ 的边长为 $3 + \sqrt{3}$。
(1) 正方形 $EFPN$ 的顶点 $E$,$F$ 在边 $AB$ 上,顶点 $N$ 在边 $AC$ 上。在正三角形 $ABC$ 及其内部,以 $A$ 为位似中心,作正方形 $EFPN$ 的位似正方形 $E'F'P'N'$,且使正方形 $E'F'P'N'$ 的面积最大(不要求写作法)；
(2) 求(1)中作出的正方形 $E'F'P'N'$ 的边长。

答案：

(1)如图,正方形$E'F'P'N'$即为所求.
(2)设正方形$E'F'P'N'$的边长为x.
∵$△ABC$为正三角形,
∴$AE'=BF'=\frac {\sqrt {3}}{3}x.$

∵$x+\frac {2\sqrt {3}}{3}x=3+\sqrt {3},$
∴$x=\frac {9+3\sqrt {3}}{2\sqrt {3}+3}$,即$x=3\sqrt {3}-3.$