《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 如图,在半径为 1 的圆中,弦 AB = $\sqrt{2}$,弦 AB 所对的圆心角为α,则α = $90^{\circ }$.

答案： $90^{\circ }$

2. 如图,C,D 是半圆上的三等分点,则∠AOD = $120^{\circ }$.

答案： $120^{\circ }$

3. 下列说法正确的是(B)

A.相等的圆心角所对的弧相等
B.在同圆中,等弧所对的圆心角相等
C.相等的弦所对的圆心到弦的距离相等
D.圆心到弦的距离相等,则弦相等

答案： B

4. 如图,AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上,把半圆沿 AC 折叠,$\overset{\frown}{AC}$恰好经过点 O,则$\overset{\frown}{BC}与\overset{\frown}{AC}$的关系是(A)

A.$\overset{\frown}{BC}= \frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$
B.$\overset{\frown}{BC}= \frac{1}{3}\overset{\frown}{AC}$
C.$\overset{\frown}{BC}= \overset{\frown}{AC}$
D.不能确定

答案： A

5. 如图,在⊙O 中,$\overset{\frown}{AB}= 2\overset{\frown}{AC}$,AD ⊥ OC 于 D.求证：AB = 2AD.

答案： 延长AD交$\odot O$于E．$\because OC\perp AD$，$\therefore \stackrel{\frown}{AE}=2\stackrel{\frown}{AC}$，AE$=2AD$．$\because AB=2\stackrel{\frown}{AC}$，$\therefore \stackrel{\frown}{AE}=\stackrel{\frown}{AB}$．$\therefore AB=AE$．$\therefore AB$$=2AD$．

6. 如图,△ABC 是等边三角形,若 AB = 10 cm.
(1)求∠AOB 的度数；
(2)求⊙O 的半径.

答案： 1. 求$\angle AOB$的度数：
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle C = 60^{\circ}$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，$\angle AOB$与$\angle C$所对的弧都是$\overset{\frown}{AB}$，则$\angle AOB = 2\angle C$。
所以$\angle AOB=120^{\circ}$。
2. 求$\odot O$的半径：
解：过$O$作$OD\perp AB$于$D$。
因为$OA = OB$，$OD\perp AB$（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧），所以$AD=\frac{1}{2}AB$。
已知$AB = 10cm$，则$AD = 5cm$。
又因为$\angle AOB = 120^{\circ}$，$OA = OB$，所以$\angle OAB=\angle OBA = 30^{\circ}$。
在$Rt\triangle AOD$中，设$OA = R$，根据$\cos\angle OAD=\frac{AD}{OA}$。
因为$\angle OAD = 30^{\circ}$，$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$AD = 5cm$，由$\cos\angle OAD=\frac{AD}{OA}$可得$\cos30^{\circ}=\frac{5}{R}$。
即$R=\frac{5}{\cos30^{\circ}}=\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}(cm)$。
综上，（1）$\angle AOB = 120^{\circ}$；（2）$\odot O$的半径为$\frac{10\sqrt{3}}{3}cm$。

7. 如图,MN 是⊙O 的直径,A 是半圆上的一个三等分点,B 是$\overset{\frown}{AN}$的中点,B'是点 B 关于 MN 的对称点,⊙O 的半径为 1,求 AB'的长.

答案： 连接OB、$OB'$．$\because$点A是半圆上一个三等分点，$\therefore \angle AON=60^{\circ }$．$\because$点B是$\stackrel{\frown}{AN}$的中点，$\therefore \angle BON=30^{\circ }$．$\because$点$B'$是点B关于MN的对称点，$\therefore \angle B'ON=30^{\circ }$，$\therefore \angle AOB'=90^{\circ }$，$\therefore AB'=$$\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$．

8. 如图,A,B 是⊙O 上的两点,∠AOB = 120°,C 是$\overset{\frown}{AB}$的中点.
(1)求证：四边形 OACB 为菱形；
(2)延长 OA 至点 P 使得 OA = AP,连接 PC,若⊙O 的半径为 1,求 PC 的长.

答案：
(1)证明：连接OC，如图．$\because$C是$\stackrel{\frown}{AB}$的中点，$\angle AOB=$$120^{\circ }$，$\therefore \angle AOC=\angle BOC=$$60^{\circ }$．又$\because OA=OC=OB$，$\therefore$$\triangle OAC$和$\triangle OBC$都是等边三角形，$\therefore AC=OA=OB=$$BC$，$\therefore$四边形OACB是菱形．
(2)由
(1)知$OA=AC$，又$\because OA=AP$，$\therefore AP=AC$．$\because$$\angle PAC=180^{\circ }-\angle OAC=120^{\circ }$，$\therefore \angle P=\angle ACP=30^{\circ }$，$\therefore \angle PCO=90^{\circ }$，$\therefore \triangle OPC$是直角三角形，$\therefore PC=$$\sqrt{3}OC=\sqrt{3}$．