《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例 1 如图,PA,PB 是⊙O 的切线,若∠APB = 40°,下列说法不正确的是(C)

A.PA = PB
B.∠APO = 20°
C.∠OBP = 70°
D.∠AOP = 70°
【思路导析】运用切线长定理来分析解答.
【请你解答】______.

答案： C

例

2 如图,⊙O 内切于△ABC,AB = AC = 5,BC = 6,求⊙O 的半径 r.
【思路导析】过点 O 作三边的垂线段,运用面积法求解.

$S_{△ABC} = S_{△AOB} + S_{△BOC} + S_{△AOC}.$
【请你解答】

答案： 连接OA,OB,OC,设⊙O的半径为r.S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC，1/2×6×4=1/2(AB+BC+AC)r，
∴r=3/2.

例

3 如图,⊙O 内切于△ABC,切点为 D,E,F,若∠B = 50°,∠C = 60°,连接 OE,OF,DE,DF.
(1)图中有哪些相等的线段(半径除外)？

(2)求∠EDF 的度数.

答案： 【探究点拨】
(1)运用切线长定理判断；
(2)综合运用圆周角和切线的性质求解.
【规范解答】
(1)AF = AE,CE = CD,BF = BD.
(2)
∵ AF,AE 是⊙O 的切线,
∴ ∠AFO = ∠AEO = 90°.
∵ ∠A = ∠180° - ∠B - ∠C = 180° - 50° - 60° = 70°,
∴ ∠EOF = 180° - ∠A = 180° - 70° = 110°.
∴ ∠EDF = $\frac{1}{2}$∠EOF = $\frac{1}{2}$×110° = 55°.

1. 如图,⊙O 是△ABC 的内切圆,D,E,F 为切点,若 AB = 10,BC = 14,CA = 12,求 AF,BD 和 CE 的长.

答案： 设AF=x，BD=y，CE=z，根据切线长定理可知，AE=AF=x，BD=BF=y，CE=CD=z，
∴{x+y=10, y+z=14, x+z=12,解得{x=4, y=6, z=8.

2. 如图,AC 是⊙O 的直径,PA 切⊙O 于点 A,PB 切⊙O 于点 B,且∠APB = 60°.
(1)求∠BAC 的度数；
(2)若 PA = 1,求点 O 到弦 AB 的距离.

答案：
(1)
∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，
∴PA=PB，∠PAC=90°.
∵∠APB=60°，
∴△APB是等边三角形.
∴∠BAP=60°.
∴∠BAC=90°-∠BAP=30°.
(2)作OD⊥AB于D，则AD=BD=1/2AB.由
(1)得△APB是等边三角形，
∴AB=PA=1.
∴AD=1/2.
∵∠BAC=30°，
∴AO=2OD.
∵(2OD)²=OD²+AD²，
∴OD=√3/6，即点O到弦AB的距离为√3/6.