《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例

1 解下列一元二次方程.
(1) $ 4 y ^ { 2 } = 25 $； (2) $ 2 x ^ { 2 } - 6 = 0 $.
【思路导析】先将各方程化简成 $ a x ^ { 2 } = b $ 的形式,进而整理成 $ x ^ { 2 } = \frac { b } { a } $ 的形式,再直接开平方求解.
【请你解答】

答案：
(1)$y_{1}=\frac {5}{2},y_{2}=-\frac {5}{2};$
(2)$x_{1}=\sqrt {3},x_{2}=-\sqrt {3}$

例 2 解下列一元二次方程.
(1) $ ( x + 2 ) ^ { 2 } - 9 = 0 $； (2) $ 3 ( x - 1 ) ^ { 2 } - 4 = 0 $.
【思路导析】形如 $ ( m x + p ) ^ { 2 } = q ( q \geq 0 ) $ 的方程两边直接开平方可得 $ m x + p = \pm \sqrt { q } $,所以 $ x _ { 1 } = \frac { - p + \sqrt { q } } { m } $, $ x _ { 2 } = \frac { - p - \sqrt { q } } { m } $.
【请你解答】

答案：
(1)$x_{1}=1,x_{2}=-5;$
(2)$x_{1}=1+\frac {2\sqrt {3}}{3},x_{2}=1-\frac {2\sqrt {3}}{3}$

例 3 某机床制造厂第一季度的第 1 个月生产 100 台机床,第 2 个月和第 3 个月生产机床量的增长率相同,第 3 个月生产 121 台机床,则第一季度生产机床量的月平均增长率为多少？

答案： 【探究点拨】设第 2 个月、第 3 个月平均增长率为 $ x $,则第 2 个月生产机床量为 $ 100 ( 1 + x ) $ 台,第 3 个月为 $ 100 ( 1 + x ) ^ { 2 } $ 台,依题意可列一元二次方程求解.
【规范解答】设第 2 个月、第 3 个月生产机床量的月平均增长率为 $ x $,依题意有
$ 100 ( 1 + x ) ^ { 2 } = 121 $,
两边直接开平方,得
$ 1 + x = \pm 1.1 $,
解得 $ x _ { 1 } = 0.1 $, $ x _ { 2 } = - 2.1 $(舍去).
$ \therefore x = 0.1 = 10 \% $.
答：该厂第一季度每月生产机床量的平均增长率为 $ 10 \% $.

1. 如果方程 $ x ^ { 2 } - q x + 9 = 0 $ 可以写成 $ ( x - p ) ^ { 2 } = 7 $ 的形式,求 $ p $, $ q $ 的值. 完成下列填空：
解：由 $ x ^ { 2 } - q x + 9 = 0 $,
配方,得 $ x ^ { 2 } - q x + \frac { q ^ { 2 } } { 4 } = \frac { q ^ { 2 } } { 4 } - 9 $.
即 $ \left( x - \frac { q } { 2 } \right) ^ { 2 } = \frac { q ^ { 2 } - 36 } { 4 } $.
又方程可以写成 $ ( x - p ) ^ { 2 } = 7 $,
所以 $ \frac { q ^ { 2 } - 36 } { 4 } = $7, $ p = $$\frac{q}{2}$.
解得 $ q = $±8, $ p = $±4.

答案： 7，$\frac{q}{2}$，±8，±4

2. 已知关于 $ x $ 的方程 $ ( x + 1 ) ^ { 2 } = k ^ { 2 } + 3 $ 的一个根是 $ x _ { 1 } = 2 $,求 $ k $ 的值及另一个根.

答案： 把$x_{1}=2$代入原方程中得$k^{2}+3=9,\therefore k^{2}=6$.解得$k=\pm \sqrt {6}$.把$k^{2}=6$代入原方程,得$(x+1)^{2}=9$,可解得方程的另一个根为$x_{2}=-4.$