《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例1 如图所示,有一抛物线形拱桥,其函数的解析式为 $ y = -\frac{1}{4}x^2 $,当水位线在 $ AB $ 位置时,水面宽为 $ 12m $,这时水面离桥顶的距离是多少？

【思路导析】水面到桥顶的距离就是点 $ B $(或点 $ A $)的纵坐标的相反数。
【请你解答】

答案： 设B(6,y),代入y=−$\frac{1}{4}$x²=−$\frac{1}{4}$×6²=−9,
∴B(6,−9),即水面离桥顶的距离为9m.

例2 如图所示,一个中学生掷铅球,铅球在 $ A $ 点处出手,在 $ B $ 点处落地,它的运行路线是一条抛物线,在平面直角坐标系中,这条抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{12}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{5}{3} $。求铅球在运行过程中到达最高点时离地面的距离和这个学生掷铅球的成绩(单位：$ m $)。

【思路导析】铅球最高点离地面的距离就是抛物线顶点的纵坐标,学生掷铅球的成绩就是抛物线与 $ x $ 轴正半轴交点的横坐标。
【请你解答】

答案： y=−$\frac{1}{12}$x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$,
$\frac{4×\left(-\frac{1}{12}\right)×\frac{5}{3}-\left(\frac{2}{3}\right)^{2}}{4×\left(-\frac{1}{12}\right)}$ = 3,即最高点距地面3m.
令y=−$\frac{1}{12}$x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$=0,x₁=10,x₂=−2(舍去),
∴该学生掷铅球的成绩为10m.

例3 如图,某公路隧道的横截面为抛物线,其最大高度为 $ 6m $,底部宽度 $ OM $ 为 $ 12m $,现以 $ O $ 点为原点,$ OM $ 所在的直线为 $ x $ 轴建立直角坐标系。

(1) 直接写出点 $ M $ 及抛物线顶点 $ P $ 的坐标；
(2) 求这条抛物线的解析式。

答案： 【探究点拨】
(1) 利用抛物线的对称性；
(2) 可利用顶点式 $ y = a(x - h)^2 + k $ 确定解析式。
【规范解答】
(1) $ M(12,0) $,$ P(6,6) $；
(2) 设抛物线的解析式为 $ y = a(x - 6)^2 + 6 $,
∵ 抛物线过原点 $ (0,0) $,
∴ $ a = -\frac{1}{6} $,
∴ 抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{6}x^2 + 2x $。

一座隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长为 $ 8m $,宽为 $ 2m $,隧道最高点 $ P $ 位于 $ AB $ 的中央且距地面 $ 6m $,建立如图所示的坐标系。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 一辆货车高 $ 4m $,宽 $ 4m $,能否从该隧道内通过,为什么？

答案：
(1)设抛物线的解析式为y=a(x−b)²+k.
由题意可知顶点坐标为(4,6),
∴y=a(x−4)²+6.
∵抛物线过点A(0,2),
∴a(0−4)²+6=2,解得a =−$\frac{1}{4}$,
∴该抛物线的解析式为y=−$\frac{1}{4}$(x−4)²+6.
(2)当x=2时,y=−$\frac{1}{4}$×(2−4)²+6=5＞4,
∴该货车能通过隧道.