《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 函数 $ y = -\frac{1}{3}x^{2} $ 的图象是一条开口向下的抛物线。

答案： 下，抛物线

2. 二次函数 $ y = \frac{1}{4}x^{2} $,开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0)。

答案： 上，y轴，(0,0)

3. 二次函数的图象如图所示,则它的解析式为 $ y = $ $\frac{3}{4}x²$；函数图象的最低点坐标为 (0,0)。

答案： $\frac{3}{4}$x²，(0,0)

4. 已知 $ a \neq 0 $,在同一直角坐标系中,函数 $ y = ax $ 与 $ y = ax^{2} $ 的图象可能是(C)

答案： C

5. 给出下列四个函数：
① $ y = -x $；② $ y = x $；③ $ y = \frac{1}{x} $；④ $ y = x^{2} $。
$ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小的函数有(C)
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： C

6. 如图所示,四个二次函数为 $ y = 2x^{2} $,$ y = -2x^{2} $,$ y = x^{2} $,$ y = -x^{2} $,则①②③④对应的函数解析式分别为(C)

A.$ y = 2x^{2} $,$ y = -2x^{2} $,$ y = x^{2} $,$ y = -x^{2} $
B.$ y = 2x^{2} $,$ y = -2x^{2} $,$ y = -x^{2} $,$ y = x^{2} $
C.$ y = 2x^{2} $,$ y = x^{2} $,$ y = -x^{2} $,$ y = -2x^{2} $
D.$ y = 2x^{2} $,$ y = x^{2} $,$ y = -2x^{2} $,$ y = -x^{2} $

答案： C

7. 如图,正方形四个顶点的坐标依次为 $ (1,1) $,$ (3,1) $,$ (3,3) $,$ (1,3) $。若抛物线 $ y = ax^{2} $ 的图象与正方形有公共点,则实数 $ a $ 的取值范围是(A)

A.$ \frac{1}{9} \leq a \leq 3 $
B.$ \frac{1}{9} \leq a \leq 1 $
C.$ \frac{1}{3} \leq a \leq 3 $
D.$ \frac{1}{3} \leq a \leq 1 $

答案： A

8. 一个二次函数,它的图象的顶点是原点,对称轴是 $ y $ 轴,且经过点 $ (-1,\frac{1}{4}) $。
(1)求出这个二次函数的解析式；
(2)画出这个二次函数的图象；
(3)指出当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的变化规律；
(4)设 $ A(-1,y_{1}) $,$ B(2,y_{2}) $ 在这条抛物线上,试判断 $ y_{1} $ 与 $ y_{2} $ 的大小关系。

答案：
(1)设解析式为y=ax²，则$\frac{1}{4}$=a·(−1)²，即a=$\frac{1}{4}$，
∴y=$\frac{1}{4}$x².
(2)图象略.
(3)x＞0时，y随x增大而增大.
(4)当x=−1时，y1=$\frac{1}{4}$；
当x=2时，y2=1.
∴y2＞y1.

9. 已知 $ y = ax^{2}(a \neq 0) $ 与直线 $ y = 2x - 3 $ 相交于点 $ (1,b) $。
(1)求 $ a $,$ b $ 的值；
(2)写出抛物线 $ y = ax^{2} $ 与直线 $ y = 2x - 3 $ 的另一个交点的坐标；
(3)当 $ x $ 取何值时,二次函数 $ y = ax^{2} $ 中的 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？
(4)求抛物线 $ y = ax^{2} $ 与直线 $ y = -2 $ 的两交点及其顶点所构成的三角形的面积。

答案：
(1)a=−1，b=−1；
(2)(−3,−9)；
(3)x＜0时，y随x的增大而增大；
(4)抛物线y=ax²与y=−2的两交点分别为(−$\sqrt{2}$，−2)，($\sqrt{2}$，−2)，
∴S=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2=2$\sqrt{2}$