《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

2. 若$3a^{2}-4a - 7 = 0$,则代数式$(2a - 1)^{2}-(a + b)(a - b)-b^{2}$的值为8。

答案： 8 提示:(2a-1)²-(a+b)(a-b)-b²=4a²-4a+1-a²+b²-b²=3a²-4a+1.由3a²-4a-7=0,得到3a²-4a=7.则原式=7+1=8.

3. [2024 甘肃中考]先化简,再求值：$[(2a + b)^{2}-(2a + b)(2a - b)]÷2b$,其中$a = 2$,$b = - 1$。

答案： 解:[(2a+b)²-(2a+b)(2a-b)]÷2b =[4a²+4ab+b²-(4a²-b²)]÷2b=(4a²+4ab+b²-4a²+b²)÷2b=(4ab+2b²)÷2b=2a+b.当a=2,b=-1时,原式=2×2-1=3.

例 3 [数形结合]图 1 是一个长为$2m$,宽为$2n$的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图 2 的方式拼成一个正方形。


(1)请用两种不同的方法表示图 2 中阴影部分的面积。
方法一：(m-n)²。
方法二：(m+n)²-4mn。
(2)观察图 2,请直接写出下列三个代数式$(m + n)^{2}$,$(m - n)^{2}$,$4mn$之间的等量关系：(m-n)²=(m+n)²-4mn。
(3)根据(2)中的等量关系,解决如下问题：已知$p + q = 8$,$pq = 5$,求$(p - q)^{2}$的值。
思路点拨 阴影部分面积有两种计算方法,一是由正方形的面积公式直接求出,二是由大正方形面积减去四个小长方形的面积求出。由两种表示方法得到等量关系,再将$p + q和pq的值代入等量关系即可求出(p - q)^{2}$的值。
当p+q=8,pq=5时,(p-q)²=(p+q)²-4pq=8²-4×5=44.

答案：
(1)(m-n)² (m+n)²-4mn
(2)(m-n)²=(m+n)²-4mn
(3)当p+q=8,pq=5时,(p-q)²=(p+q)²-4pq=8²-4×5=44.

4. 已知$a-\frac{1}{a}= -3$,则$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$的值为11。

答案： 11 提示:由题意,得(a-1/a)²=a²-2+1/a²=(-3)²=9.所以a²+1/a²=9+2=11.

5. [教材第 121 页复习题 16 第 8 题变式]
已知$a + b = 5$,$ab= \frac{9}{4}$。求$a^{2}+b^{2}与a - b$的值。

答案： 解:因为(a+b)²=a²+2ab+b²,所以a²+b²=(a+b)²-2ab.又a+b=5,ab=9/4,所以a²+b²=5²-2×9/4=25-9/2=41/2.因为(a-b)²=a²-2ab+b²,又a²+b²=41/2,ab=9/4,所以(a-b)²=41/2-2×9/4=16.所以a-b=±4.