《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

确定匀质薄板的重心位置
探究一 探究简单平面图形的重心位置
名师引导
(1)三角形的重心是三条中线的交点.可通过作三角形三边的中线确定重心的位置;长方形的重心是两条对角线的交点;圆形的重心是圆心.(2)一般平面图形的重心是指在该平面图形所在的平面内,存在这样一个点,当将该平面图形视作一个质量均匀分布的薄板时,整个图形所受重力的合力作用点就位于此点,若在该点对平面图形进行支撑或悬挂,平面图形能在重力作用下处于平衡状态,则这个点就称为该平面图形的重心.因此,我们可以利用悬挂法或支撑法确定图形的重心位置.

答案： 答题卡作答：
1.对于三角形薄板，通过作三条边的中线，三条中线相交于一点，此交点即为三角形的重心位置。
2.对于长方形薄板，作出两条对角线，两条对角线相交于一点，该点就是长方形的重心位置。
3.对于圆形薄板，圆心即为圆形的重心位置。
4.对于一般不规则的匀质薄板，可采用悬挂法：在薄板边缘取一点，将薄板悬挂，利用垂线确定一条竖直向下的直线（由于薄板质量均匀，重心必在此直线上）；再在薄板另一边缘取一点（不与前一点在同一条直线上）重复上述操作，得到另一条竖直向下的直线，两条直线相交点即为该不规则匀质薄板的重心位置；也可采用支撑法：在薄板可能的重心位置附近进行支撑，当薄板能在支撑点处保持平衡时，该支撑点即为薄板的重心位置。
最终结论：三角形重心是三条中线交点；长方形重心是两条对角线交点；圆形重心是圆心；一般不规则匀质薄板重心可用悬挂法或支撑法确定。

1. 如图 1,网格由边长相同的小正方形组成,点$A,B,C,D,E,F,G$均在小正方形的顶点上,则$\triangle ABC$的重心是(D).

A.点$D$
B.点$E$
C.点$F$
D.点$G$

答案： 1. A 提示:根据题图可知,直线 CD 经过△ABC 的边 AB 上的中线,直线 AD 经过△ABC 的边 BC 上的中线,故点 D 是△ABC 的重心.

2. 发现与探究
微课
【阅读分析】
三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.重心是个物理名词.从效果上看,我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点,这一点叫作物体的重心.图 2 中,如果取一块质地均匀的三角形纸板,用一根细绳从重心$O$处将三角形提起来,纸板就会处于水平状态.为什么会水平呢？希望你经过下面的探索能得到答案.
图 3 中,$AD是\triangle ABC$的中线,$\triangle ACD与\triangle ABD$等底等高,面积相等,即$S_{\triangle ACD}= S_{\triangle ABD}$.
图 4 中,若$\triangle ABC三条中线AD,BE,CF相交于点G$,则$GD是\triangle GBC$的中线,利用上述结论可得:$S_{\triangle GCD}= S_{\triangle GBD}$,同理$S_{\triangle GBF}= S_{\triangle GAF},S_{\triangle GAE}= S_{\triangle GCE}$.

【提出猜想】
(1)图 4 中,设$S_{\triangle GCD}= x$,$S_{\triangle GBF}= y$,$S_{\triangle GAE}= z$,猜想$x,y,z$之间的数量关系,并证明你的猜想.
【归纳分析】
(2)由(1)可知被三条中线分成的六个三角形面积相等,设图 4 中的$\triangle ABC的面积为m$,用含有$m的式子表示\triangle BGC$的面积为$\frac{1}{3}m$,$BG:GE= $$2:1$.
【探究应用】
(3)图 5 中,$G是\triangle ABC$的重心,点$D,E分别在\triangle ABC的边AB,AC$上,$BE,CD相交于点G$,$BE = 9$,$CD = 9$,$BE\perp CD$.求四边形$AEGD$的面积.
解:$\because$ G 是△ABC 的重心,$\therefore BG:GE=CG:GD=2:1$.$\because BE=9$,$CD=9$,$\therefore BG=6$,$CG=6$.$\because BE\perp CD$,$\therefore S_{\triangle BGC}=\frac{1}{2}BG\cdot CG=\frac{1}{2}×6×6=18$.$\therefore S_{\triangle ABC}=3S_{\triangle BGC}=54$,$S_{\triangle BGG}=S_{\triangle CEG}=\frac{1}{2}S_{\triangle BGC}=9$.$\therefore S_{四边形AEGD}=54 - 9 - 9 - 18=18$.

答案： 2.
(1)猜想:$x=y=z$.证明:由题意,可知$S_{\triangle GCD}=S_{\triangle GBD}=x$,$S_{\triangle GBF}=S_{\triangle GAF}=y$,$S_{\triangle GAE}=S_{\triangle GCE}=z$.$\because S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}$,$\therefore 2y+x=2z+x$.$\therefore y=z$.$\because S_{\triangle ABE}=S_{\triangle CBE}$,$\therefore 2y+z=2x+z$.$\therefore x=y$.$\therefore x=y=z$.
(2)相等 $\frac{1}{3}m$ $2:1$ 提示:由
(1)可知被三条中线分成的六个三角形面积相等,每个小三角形的面积是△ABC 面积的$\frac{1}{6}$,所以△BGC 的面积为$2×\frac{1}{6}m=\frac{1}{3}m$.由此可得,$BG:GE=S_{\triangle BGC}:S_{\triangle EGC}=\frac{1}{3}m:\frac{1}{6}m=2:1$.
(3)解:$\because$ G 是△ABC 的重心,$\therefore BG:GE=CG:GD=2:1$.$\because BE=9$,$CD=9$,$\therefore BG=6$,$CG=6$.$\because BE\perp CD$,$\therefore S_{\triangle BGC}=\frac{1}{2}BG\cdot CG=\frac{1}{2}×6×6=18$.$\therefore S_{\triangle ABC}=3S_{\triangle BGC}=54$,$S_{\triangle BGG}=S_{\triangle CEG}=\frac{1}{2}S_{\triangle BGC}=9$.$\therefore S_{四边形AEGD}=54 - 9 - 9 - 18=18$.