《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

6. 有 4 根木条,长度分别是 3 cm,5 cm,7 cm,9 cm,选其中 3 根首尾相接组成三角形,有几种选法? 写出所有能组成三角形的选法.

答案： 解:有3种选法能组成三角形,分别是3cm,5cm,7cm;3cm,7cm,9cm;5cm,7cm,9cm.

7. [教材第 21 页复习题 13 第 3 题变式]如图 5,在△ABC 中,AB = AC,D 在 AC 的延长线上.求证 BD - BC ＜ AD - AB.
小锦囊
将不等式中的线段通过等量代换转换成同一个三角形中的边.

答案： 证明:在△BCD中,由三角形两边的差小于第三边,得BD-BC＜CD,即BD-BC＜AD-AC.又AB=AC,所以BD-BC＜AD-AB.

8. [新定义题]若三角形的三边长分别为 a,b,c(a ＞ b ＞ c),且它们满足 a - b ＞ b - c,则称这个三角形为“不均衡三角形”.例如:一个三角形的三边长分别为 7,5,4,因为 7 - 5 ＞ 5 - 4,所以这个三角形为“不均衡三角形”.
(1)以下 4 组长度的小木棍首尾相接,能组成“不均衡三角形”的为______.(填序号)
①4,2,1;②13,18,9;
③19,20,19;④9,8,6.
(2)已知一个“不均衡三角形”的三边长分别为 2x + 2,16,2x - 6,求出所有符合条件的 x 的整数值.
(1)②
(2)解:由2x-6＞0,得x＞3.①当16＞2x+2时,解得x＜7.根据题意,得16-(2x+2)＞2x+2-(2x-6).解得x＜3.所以此种情况不存在.②当2x+2＞16＞2x-6时,解得7＜x＜11.根据题意,得2x+2-16＞16-(2x-6).解得x＞9.所以9＜ x＜11.故符合题意的x取值为10.③当2x-6＞16时,解得x＞11.根据题意,得2x+2-(2x-6)＞2x-6-16.解得x＜15.所以11＜ x＜15.故符合题意的x取值为12,13,14.综上可知,所有符合条件的x的整数值为10,12,13,14.

答案：
(1)② 提示:因为1+2＜4,所以4,2,1不能组成三角形,即不能组成"不均衡三角形".因为18-13＞13-9,所以13,18,9能组成"不均衡三角形".因为19=19,所以19,20,19不能组成"不均衡三角形".因为9-8＜8-6,所以9,8,6不能组成"不均衡三角形".
(2)解:由2x-6＞0,得x＞3.①当16＞2x+2时,解得x＜7.根据题意,得16-(2x+2)＞2x+2-(2x-6).解得x＜3.所以此种情况不存在.②当2x+2＞16＞2x-6时,解得7＜x＜11.根据题意,得2x+2-16＞16-(2x-6).解得x＞9.所以9＜ x＜11.故符合题意的x取值为10.③当2x-6＞16时,解得x＞11.根据题意,得2x+2-(2x-6)＞2x-6-16.解得x＜15.所以11＜ x＜15.故符合题意的x取值为12,13,14.综上可知,所有符合条件的x的整数值为10,12,13,14.