《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

4. 运用平方差公式计算:
(1)$(3a - 2b)(3a + 2b)$;
(2)$(-a^2 - 2b)(a^2 - 2b)$;
(3)$40\dfrac{1}{3}×39\dfrac{2}{3}$.

答案：
(1)原式$=(3a)^{2}-(2b)^{2}=9a^{2}-4b^{2}$．
(2)原式$=(-2b-a^{2})\cdot(-2b+a^{2})=(-2b)^{2}-(a^{2})^{2}=4b^{2}-a^{4}$．
(3)原式$=\left(40+\dfrac{1}{3}\right)×\left(40-\dfrac{1}{3}\right)=1600-\dfrac{1}{9}=1599\dfrac{8}{9}$．

5. [生活情境]某校将一个正方形花坛的一边减少 $1\ m$,另一边增加 $1\ m$,改建成长方形花坛,则长方形花坛与正方形花坛相比,面积(C).
A.没有变化
B.变大了
C.变小了
D.无法确定

答案： C 提示：设原来正方形花坛的边长为 $a\ m$，则长方形花坛的长为$(a+1)m$，宽为$(a-1)m$，由此可求出长方形的面积为$(a+1)\cdot(a-1)=(a^{2}-1)\ m^{2}$，而正方形花坛的面积为$a^{2}\ m^{2}$，相比于正方形花坛，这个长方形花坛的面积变小了．

6. [2024 山东济宁中考]先化简,再求值:$x(y - 4x) + (2x + y)(2x - y)$,其中$x = \dfrac{1}{2}$, $y = 2$.

答案： 解：$x(y-4x)+(2x+y)(2x-y)=xy-4x^{2}+4x^{2}-y^{2}=xy-y^{2}$．当$x=\dfrac{1}{2}$，$y=2$时，原式$=\dfrac{1}{2}×2-2^{2}=-3$．

7. 理解与运用
【方法分析】小明在计算$(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)$时,发现增加一个因式$2 - 1$后,就可以连续运用平方差公式进行计算:
$(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)$
$=(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)$
$=(2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)$
$=(2^4 - 1)(2^4 + 1) = 2^8 - 1$.
【方法运用】仿照上述方法,计算:$(3 + 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)…(3^{64} + 1)$.

答案： 解：原式$=\dfrac{1}{2}(3-1)(3+1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)\cdots(3^{64}+1)=\dfrac{1}{2}(3^{2}-1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)\cdots(3^{64}+1)=\dfrac{1}{2}(3^{4}-1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)\cdots(3^{64}+1)=\dfrac{1}{2}(3^{8}-1)(3^{8}+1)\cdots(3^{64}+1)=\cdots=\dfrac{1}{2}(3^{128}-1)(3^{64}+1)=\dfrac{3^{128}-1}{2}$．

完全平方公式：两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。即$(a + b)^2 = $$a^{2}+2ab+b^{2}$,$(a - b)^2 = $$a^{2}-2ab+b^{2}$。

答案： 平方和 2倍 $a^{2}+2ab+b^{2}$ $a^{2}-2ab+b^{2}$