《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

18. (20 分)探究与证明
【模型感知】(1)如图 14,△ABC 和△ADE 都是等边三角形,连接 BE,CD。求证 BE = CD。
【模型应用】(2)如图 15,△ABC 和△ADE 都是等边三角形,点 D 在 CB 的延长线上,连接 BE。求证 AB + BD = BE。
【类比探究】(3)如图 16,△ABC 和△ADE 都是等边三角形。点 D 在线段 BC 上,连接 BE,过点 E 作 EF⊥AB 于点 F。猜想线段 AB,BF 与 BD 之间的数量关系,并证明你的猜想。

答案：
(1)证明：
∵ △ABC和△ADE都是等边三角形，
∴ AB=AC，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°。
∴ ∠DAE+∠BAD=∠BAC+∠BAD，即∠BAE=∠CAD。在△BAE和△CAD中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AC\\ ∠BAE=∠CAD\\ AE=AD\end{array}\right.$，
∴ △BAE≌△CAD(SAS)。
∴ BE=CD。
(2)证明：
∵ △ABC和△ADE都是等边三角形，
∴ AB=AC=BC，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°。
∴ ∠DAE+∠BAD=∠BAC+∠BAD，即∠BAE=∠CAD。在△ABE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AC\\ ∠BAE=∠CAD\\ AE=AD\end{array}\right.$，
∴ △ABE≌△ACD(SAS)。
∴ BE=CD。
∵ CD=BC+BD=AB+BD，
∴ AB+BD=BE。
(3)猜想：AB=BD+2BF。证明：(方法一)如图84，设DE与AB相交于点K，在AB上截取AT=DB，连接EF。
∵ △ABC和△ADE都是等边三角形，
∴ ∠ABC=∠AED=60°，AE=DE。又
∵ ∠AKE=∠BKD，
∴ ∠EAT=∠EDB。在△EAT和△EDB中，$\left\{\begin{array}{l} AT=DB\\ ∠EAT=∠EDB\\ AE=DE\end{array}\right.$，
∴ △EAT≌△EDB(SAS)。
∴ ET=EB。
∵ EF⊥AB，
∴ TF=BF。
∴ BT=2BF。
∴ AB=AT+BT=BD+2BF。(方法二)
∵ △ABC和△ADE均为等边三角形，
∴ AC=AB=BC，AD=AE，∠CAB=∠DAE=∠C=60°。
∴ ∠CAB−∠DAB=∠DAE−∠DAB，即∠CAD=∠BAE。在△CAD和△BAE中，$\left\{\begin{array}{l} AC=AB\\ ∠CAD=∠BAE\\ AD=AE\end{array}\right.$，
∴ △CAD≌△BAE(SAS)。
∴ BE=CD，∠ABE=∠C=60°。
∵ EF⊥AB，
∴ ∠FEB=90°−∠ABE=30°。
∴ BE=2BF。
∴ BC=CD+BD=BE+BD=2BF+BD，即AB=2BF+BD。