《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

6. [数形结合]如图 2,有边长分别为$a和b(a ＞ b)$的 A 类和 B 类正方形纸片,长为$a$、宽为$b$的 C 类长方形纸片若干张。用这三类纸片,拼一个边长为$a + b$的正方形(如图 3),需要 1 张 A 类纸片、1 张 B 类纸片和 2 张 C 类纸片。若要拼一个长为$3a + b$、宽为$2a + 2b$的长方形,则需要 C 类纸片的张数为(B)。

A.9
B.8
C.7
D.6
小锦囊
C 类纸片的面积为$ab$,因此计算出要拼的大长方形的面积,$ab$项的系数即为 C 类纸片的张数。
]

答案： B 提示:(3a+b)(2a+2b)=6a²+6ab+2ab+2b²=6a²+8ab+2b²,由此可得,若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的长方形,则需要8张C类纸片.

7. [生活情境]某公园有一块长为$(2a + b)$m,宽为$(a + 2b)$m 的空地。为进一步提升公园游客的游览体验,丰富景观功能,当地政府计划在空地上建造一个打卡观景台(图 4 的阴影部分)。
(1)请计算观景台的面积。
(2)当$a = 5$ m,$b = 4$ m 时,求观景台的面积。
]

答案： 7. 解:
(1)观景台的面积=(2a+b)(a+2b)-ab-(a-b)(a-b)-(2a+b)(a-b)=2a²+4ab+ab+2b²-ab-(a²-ab-ab+b²)-(2a²-2ab+ab-b²)=2a²+4ab+ab+2b²-ab-a²+ab+ab-b²-2a²+2ab-ab+b²=-a²+7ab+2b².所以观景台的面积为(-a²+7ab+2b²)m².
(2)将a=5m,b=4m代入-a²+7ab+2b²,得观景台的面积为-5²+7×5×4+2×4²=147(m²).

8. 探究与应用
【初步探究】(1)计算：
$(x - 1)(x^2 + x + 1) = $$x³ - 1$；
$(2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2) = $$8x³ - y³$。
【总结规律】(2)上面的乘法计算结果很简洁,你发现了什么规律？请用含字母$a$,$b$的等式表示该规律：
$(a - b)$($a² + ab + b²$)$=$$a³ - b³$。
【解决问题】(3)运用你发现的规律计算：$(3x - 2y)(9x^2 + 6xy + 4y^2) = $$27x³ - 8y³$。
【拓展应用】(4)设$A = 10^9 - 1$,利用上述规律,说明$A$能被 37 整除。
$A = 10^9 - 1 = (10³)³ - 1 = (10³ - 1)×(10⁶ + 10³ + 1²) = 999×1001001 = 3×3×3×37×1001001$，所以$A$能被 37 整除。

答案： 8. 解:
(1)x³-1 8x³-y³
(2)a²+ab+b² a³-b³
(3)27x³-8y³
(4)A=10⁹-1=(10³)³-1=(10³-1)×(10⁶+10³+1²)=999×1001001=3×3×3×37×1001001.所以A能被37整除.