《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

16. (14 分)如图 12,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°。
(1)作线段 AC 的垂直平分线 MN,分别交 AB,AC 于点 M,N,连接 CM(要求：尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)。
(2)在(1)的条件下,已知∠A = 30°,MN = 2,求 CM 的长。
(3)在(2)的条件下,判断△CMB 的形状,并说明理由。

答案： 解：
(1)如图82，MN就是所求作的垂直平分线。
(2)
∵ MN是线段AC的垂直平分线，
∴ AM=CM，∠ANM=90°。
∵ ∠A=30°，MN=2，
∴ AM=2MN=4。
∴ CM=AM=4。
(3)△CMB是等边三角形。理由：
∵ ∠A=30°，∠C=90°，
∴ ∠B=60°。
∵ AM=CM，∠A=30°，
∴ ∠ACM=∠A=30°。
∴ ∠BCM=60°。
∴ △CMB是等边三角形。

17. (16 分)如图 13,在等边三角形 ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BC 延长线上的一点,且 CE = CD,过点 D 作 DM⊥BC 于点 M。
(1)求∠E 的度数。
(2)求证：M 是 BE 的中点。
(3)已知 MC = 1,求 BE 的长。

答案：
(1)解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ACB=∠ABC=∠A=60°。
∵ CE=CD，
∴ ∠E=∠CDE。又
∵ ∠ACB=∠E+∠CDE，
∴ ∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°。
(2)证明：如图83，连接BD。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=AC=BC。又
∵ D是AC的中点，
∴ ∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°。
∴ ∠DBC=∠E。
∴ DB=DE。又
∵ DM⊥BE，
∴ M是BE的中点。
(3)解：
∵ DM⊥BE，∠ACB=60°，
∴ ∠MDC=30°。
∴ CD=2MC=2。
∴ CE=CD=2。
∴ BE=2ME=2(MC+CE)=2×(1+2)=6。