《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

例3
已知∠MON,点A,B分别在射线ON,OM上移动(不与点O重合),AD平分∠BAN,BC平分∠ABM,直线AD,BC相交于点C。
(1) 如图10,当∠MON= 90°时,求∠ACB的度数。
(2) 如图11,当∠MON= α时,点A,B分别在射线ON,OM上移动的过程中,∠ACB的度数是否改变？若不改变,则求出其值(用含α的代数式表示)；若改变,则请说明理由。

答案：
(1)
∵ AD平分∠BAN,BC平分∠ABM,
∴ ∠CAB= $\frac{1}{2}$∠BAN,∠CBA= $\frac{1}{2}$∠ABM.
∵ ∠BAN=∠MON+∠OBA,∠ABM=∠MON+∠OAB,又∠MON=90°,∠OBA+∠OAB=180°-∠MON=90°,
∴ ∠BAN+∠ABM=270°,
∴ ∠CAB+∠CBA= $\frac{1}{2}$(∠BAN+∠ABM)= $\frac{1}{2}$×270°=135°.
∴ ∠ACB=180°-(∠CAB+∠CBA)=180°-135°=45°.
(2)∠ACB的度数不变.
∵ AD平分∠BAN,BC平分∠ABM,
∴ ∠CAB= $\frac{1}{2}$∠BAN,∠CBA= $\frac{1}{2}$∠ABM.
∵ ∠OBA+∠OAB=180°-∠MON=180°-α,
∴ ∠CAB+∠CBA= $\frac{1}{2}$(∠BAN+∠ABM)= $\frac{1}{2}$[360°-(∠OBA+∠OAB)]= $\frac{1}{2}$(180°+α)=90°+ $\frac{1}{2}$α.
∴ ∠ACB=180°-(∠CAB+∠CBA)=90°- $\frac{1}{2}$α.

5. 如图12,BF,CF是△ABC的两个外角的平分线。若∠A= $\frac{2}{3}$∠F,则∠A的度数是45°。

答案： 45° 提示:由双外角平分线模型,得∠F=90°- $\frac{1}{2}$∠A.由题意可知∠A= $\frac{2}{3}$∠F,则有∠F=90°- $\frac{1}{2}$× $\frac{2}{3}$∠F,解得∠F=67.5°.所以∠A=45°.