《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”).

答案： 相等；等角对等边

1. 如图 1,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle B= \angle C$,$AB= 3$,$AC$ 的长为(B).

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： B

2. 如图 2,已知线段 $a$,$h$.求作 $\triangle ABC$,使 $AB= AC$,且 $BC= a$,高 $AD= h$.请将下面尺规作图的作法补充完整：
作法：如图 3,(1) 作线段 $BC=$a；(2)作线段 $BC$ 的垂直平分线 $MN$,交 $BC$ 于点 $D$；(3)在射线 $DM$(或 $DN$)上截取线段 $DA$,使 $DA=$h；(4) 连接 $AB$,$AC$,则 $\triangle ABC$ 就是所求作的等腰三角形.

答案：
(1)a；
(2)垂直平分；
(3)h

例 1 如图 4,$AB= AC$,$D$ 是 $AB$ 上一点,$DE\perp BC$ 于点 $E$,$ED$ 的延长线交 $CA$ 的延长线于点 $F$.求证：$\triangle ADF$ 是等腰三角形.
思路点拨 只需证明 $\angle EFC= \angle ADF$ 即可得到 $\triangle ADF$ 是等腰三角形.由“等边对等角”得出 $\angle B= \angle C$,再利用等角的余角相等和对顶角相等即可得出 $\angle EFC= \angle ADF$.

答案： 证明：
因为$AB = AC$，
根据等腰三角形的性质，等边对等角，
所以$\angle B = \angle C$。
因为$DE \perp BC$，
所以$\angle FEB = \angle FEC = 90^{\circ}$。
在$\triangle FEB$中，$\angle B + \angle BDE = 90^{\circ}$；
在$\triangle FEC$中，$\angle C +\angle EFC = 90^{\circ}$。
因为$\angle B = \angle C$，
所以$\angle BDE=\angle EFC$。
又因为$\angle BDE$与$\angle ADF$是对顶角，
根据对顶角相等，所以$\angle BDE = \angle ADF$。
所以$\angle EFC = \angle ADF$。
所以$AD = FD$，
即$\triangle ADF$是等腰三角形。

1. [教材第 81 页练习第 1 题变式]如图 5,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A= 36^{\circ}$,$\angle C= 72^{\circ}$,$\angle ABC$ 的平分线交 $AC$ 于点 $D$. 写出图中所有的等腰三角形：△ABC,△ABD,△BDC.

答案： △ABC,△ABD,△BDC