《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

6. [生活情境]某种零件的形状如图13所示,按规定,合格的零件中,$\angle A = 75^{\circ}$,$\angle B = 18^{\circ}$,$\angle C = 22^{\circ}$.质检员小李量得一个零件的$\angle BDC = 114^{\circ}$,断定这个零件不合格.请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由.
小锦囊
延长$BD与AC相交于点E$,得到$\triangle ABE$,$\triangle CDE$,再根据三角形的内角和定理的推论求得合格零件$\angle BDC$的度数.

答案： 解：延长 $BD$ 与 $AC$ 相交于点 $E$。
根据三角形外角性质，在$\triangle ABE$中，$\angle BED = \angle A + \angle B$。
因为$\angle A = 75^{\circ}$，$\angle B = 18^{\circ}$，所以$\angle BED=75^{\circ}+18^{\circ}=93^{\circ}$。
在$\triangle CDE$中，$\angle BDC=\angle BED + \angle C$。
已知$\angle C = 22^{\circ}$，$\angle BED = 93^{\circ}$，所以$\angle BDC=93^{\circ}+22^{\circ}=115^{\circ}$。
而量得的$\angle BDC = 114^{\circ}$，$114^{\circ}\neq115^{\circ}$，所以这个零件不合格。

7. 如图14,在$\triangle ABC$中,$\angle 1 = \angle 2 = \angle 3$.
(1)求证$\angle BAC = \angle DEF$.
(2)已知$\angle BAC = 70^{\circ}$,$\angle DFE = 50^{\circ}$,求$\angle ABC$的度数.

答案：
(2)60°

8. 探究与证明
微课
【图形呈现】如图15,在$\triangle ABC$中,$\angle C ＞ \angle B$,$AE是\triangle ABC$的角平分线.
【初步探究】(1)如图15①,$AD \perp BC于点D$,求证$\angle EAD = \frac{1}{2}(\angle C - \angle B)$.
【类比探究】(2)如图15②,$F是AE$上一点,$FD \perp BC于点D$,这时$\angle EFD$,$\angle B$,$\angle C$之间有怎样的数量关系？请说明理由.
【拓展研究】(3)如图15③,$F是线段AE$延长线上一点,$FD \perp BC于点D$,这时$\angle EFD$,$\angle B$,$\angle C$之间又有怎样的数量关系？请说明理由.

答案：
(1)证明：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=1/2∠BAC。
∵∠BAC=180°-∠B-∠C，
∴∠BAE=1/2(180°-∠B-∠C)=90°-1/2(∠B+∠C)。
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠B。
∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=(90°-∠B)-[90°-1/2(∠B+∠C)]=1/2(∠C-∠B)。
(2)∠EFD=1/2(∠C-∠B)。理由如下：
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°，
∴∠EFD=90°-∠FED。
∵∠FED是△ABE的外角，
∴∠FED=∠B+∠BAE。
由
(1)知∠BAE=90°-1/2(∠B+∠C)，
∴∠FED=∠B+90°-1/2(∠B+∠C)=90°+1/2∠B-1/2∠C。
∴∠EFD=90°-(90°+1/2∠B-1/2∠C)=1/2(∠C-∠B)。
(3)∠EFD=1/2(∠C-∠B)。理由如下：
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°，
∴∠EFD=90°-∠FED。
∵∠FED是△AEC的外角的邻补角，∠AEC=∠C+∠CAE，且∠CAE=1/2∠BAC=90°-1/2(∠B+∠C)，
∴∠AEC=∠C+90°-1/2(∠B+∠C)=90°-1/2∠B+1/2∠C。
∴∠FED=180°-∠AEC=90°+1/2∠B-1/2∠C。
∴∠EFD=90°-(90°+1/2∠B-1/2∠C)=1/2(∠C-∠B)。