《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

7. 如图13,在△ABC中,AD⊥BC于点D,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,连接AE,且AB= AE。
(1)已知∠BAE= 40°,求∠C的度数。
(2)已知△ABC的周长为19cm,AC= 7cm,求DC的长。

答案： 1.
∵　AB=AE,∠BAE=40°,
∴　∠B=∠AEB=$\frac{1}{2}$(180° - ∠BAE)=70°.
∵　∠AEB是△AEC的一个外角,
∴　∠AEB=∠C+∠CAE.
∵　EF垂直平分AC,
∴　AE=EC.
∴　∠C=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠AEB=35°.
2.
∵　AB=AE,AD⊥BC,
∴　BD=DE.
∵　AE=EC,
∴　AB=AE=EC.
∵　△ABC的周长为19cm,AC=7cm,
∴　AB+BC=19 - 7=12(cm),即AB+BD+DE+EC=12cm.
∴　2EC+2DE=12cm.
∴　EC+DE=6cm,即DC=6cm.

8. 综合与探究
【特例呈现】数学课上,数学老师列举了下面两个例题：
例1 在等腰三角形ABC中,∠A= 100°,求∠B的度数。(只有一个答案,∠B= 40°)
例2 在等腰三角形ABC中,∠A= 40°,求∠B的度数。(共有三个答案,∠B= 40°或70°或100°)
【例题变式】数学老师启发同学们进行变式探索,小明编了如下题目。请你解答下面两个变式题。
(1)在等腰三角形ABC中,∠A= 120°,求∠B的度数。
(2)在等腰三角形ABC中,∠A= 80°,求∠B的度数。
【归纳探究】(3)在解答第(1)(2)小题后,小明发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同。于是小明开始探索在等腰三角形ABC中,∠A的度数为多少时,∠B的度数是唯一的？在等腰三角形ABC中,设∠A= x,当∠B的度数唯一时,求x的取值范围。请你帮助小明解答此题。

答案： 1.
∵　∠A=120°＞90°,
∴　∠A只能为△ABC的顶角.
∵　△ABC是等腰三角形,
∴　∠B=∠C=$\frac{1}{2}$(180° - ∠A)=$\frac{1}{2}$×(180° - 120°)=30°.
2.①当∠A为顶角时,则∠B为底角,
∴　∠B=∠C=$\frac{1}{2}$(180° - ∠A)=$\frac{1}{2}$×(180° - 80°)=50°.②当∠A为底角,∠B为顶角时,∠B=180° - 2∠A=180° - 2×80°=20°.③当∠A,∠B都为底角时,∠B=∠A=80°.综上所述,∠B=20°或50°或80°.
3.①当90°≤x＜180°时,此时∠A只能为顶角,∠B为底角且度数唯一.②当x=60°时,∠A=∠B=∠C=60°,∠B的度数唯一.③当0°＜x＜90°,且∠B≠60°时,∠A可能为顶角，也可能为底角，∠B的度数不唯一.综上所述，当∠B的度数唯一时,x的取值范围为90°≤x＜180°或x=60°.