《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

例 [教材第 114 练习第 2 题变式]
计算:
(1)$(\dfrac{1}{4}x + y)(-\dfrac{1}{4}x + y)$;
(2)$(m - n)(m + n)(m^2 + n^2)$;
(3)$(2p + q)(2p - q) - (p + q)(4p - q)$;
(4)$10\dfrac{1}{4}×9\dfrac{3}{4}$.

答案：
(1) $(\dfrac{1}{4}x + y)(-\dfrac{1}{4}x + y)=(y+\dfrac{1}{4}x)(y-\dfrac{1}{4}x)=y^2 - (\dfrac{1}{4}x)^2=y^2 - \dfrac{1}{16}x^2$
(2) $(m - n)(m + n)(m^2 + n^2)=(m^2 - n^2)(m^2 + n^2)=(m^2)^2 - (n^2)^2=m^4 - n^4$
(3) $(2p + q)(2p - q) - (p + q)(4p - q)=( (2p)^2 - q^2 ) - (p\cdot4p - pq + 4pq - q^2)=(4p^2 - q^2) - (4p^2 + 3pq - q^2)=4p^2 - q^2 - 4p^2 - 3pq + q^2=-3pq$
(4) $10\dfrac{1}{4}×9\dfrac{3}{4}=(10 + \dfrac{1}{4})(10 - \dfrac{1}{4})=10^2 - (\dfrac{1}{4})^2=100 - \dfrac{1}{16}=99\dfrac{15}{16}$

1. 运用平方差公式计算:9.8×10.2 = (10-0.2)×(10+0.2)= 99.96.

答案： $10-0.2$ $10+0.2$ $99.96$

2. [一题多问·数形结合]
如图1,大正方形的边长为$a$,小正方形的边长为$b$.用含$a$,$b$的式子表示结果.
(1)图1中阴影部分的面积等于大正方形面积减去小正方形的面积,为$a^{2}-b^{2}$.

(2)若将图1中的阴影部分裁剪下来,拼成如图2的长方形,则它的长为$a+b$,宽为$a-b$,面积$=长×宽= $$(a+b)(a-b)$.

(3)图1中阴影部分的面积与图2中长方形的面积相等,结合(1)(2)可以说明公式:$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$.

答案：
(1)$a^{2}-b^{2}$
(2)$a+b$ $a-b$ $(a+b)(a-b)$
(3)$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

1. 下列各式中能用平方差公式计算的是(C).
A.$(x - y)(x - y)$
B.$(x - y)(x + 1)$
C.$(x - y)(x + y)$
D.$(x + y)(x + y)$

答案： C

2. [2024 四川遂宁中考]
下列运算各式结果正确的是(D).
A.$3a - 2a = 1$
B.$a^2·a^3 = a^6$
C.$(-a)^4 = -a^4$
D.$(a + 3)(a - 3) = a^2 - 9$

答案： D

3. [教材第 112 页“思考”变式]将图3所示长方形沿虚线剪开,拼成图4所示的缺一角的正方形,变化过程可以写出一个整式的乘法公式,这个公式是____.
、

答案： $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$