《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

3. 把多项式$x^2 - y^2 + 2y - 1$分解因式,结果为(B)。
A.$(x + y + 1)(x - y - 1)$
B.$(x + y - 1)(x - y + 1)$
C.$(x + y - 1)(x + y + 1)$
D.$(x - y + 1)(x + y + 1)$

答案： B 提示:原式=x²-(y²-2y+1)=x²-(y-1)²=(x+y-1)(x-y+1).

4. 分解因式：$b^2 + c^2 - a^2 + 2bc$。

答案： 解:原式=(b²+c²+2bc)-a²=(b+c)²-a²=(b+c+a)(b+c-a).

例4 [教材第133页“阅读与思考”变式]理解与运用
【阅读理解】在因式分解中有一种方法叫做“十字相乘法”,这种方法可以快速地将$x^2 + (a + b)x + ab$型式子分解因式。具体做法就是把$x^2 + (a + b)x + ab$的常数项进行适当的分解,将分解得到的两个因数$a$,$b与1$,$1$交叉相乘,如果乘积相加得到的结果刚好等于一次项的系数$a + b$,那么式子$x^2 + (a + b)x + ab可分解因式为(x + a)(x + b)$。分解过程如图1。
例如：分解因式$x^2 - 8x + 12$时,将常数项$12分解为(-2)×(-6)$,并将$1$,$1$,$-2$,$-6$按图2所示排列,$1$,$1$,$-2$,$-6交叉相乘得到的积的和为-8$,即$1×(-6) + 1×(-2) = -8$,$-8恰好等于x^2 - 8x + 12的一次项x$的系数。由此可得$x^2 - 8x + 12 = (x - 6)(x - 2)$。


【尝试运用】(1)用“十字相乘法”分解因式：$x^2 + 4x - 12$。
【拓展运用】(2)先分解因式,再求值：$(a^2 + 2a)^2 - 2(a^2 + 2a) - 3$,其中$a = 2$。

答案：
解:
(1)如图92,因为-12=(-2)×6,1×6+1×(-2)=4,所以x²+4x-12=(x-2)(x+6).
(2)如图93,因为-3=1×(-3),1×1+1×(-3)=-2,所以(a²+2a)²-2(a²+2a)-3=(a²+2a+1)(a²+2a-3)=(a+1)²(a²+2a-3).如图94,因为-3=(-1)×3,1×3+1×(-1)=2,所以a²+2a-3=(a-1)(a+3).所以(a²+2a)²-2(a²+2a)-3=(a+1)²(a²+2a-3)=(a+1)²(a-1)(a+3).当a=2时,原式=(2+1)²×(2-1)×(2+3)=9×1×5=45.

5. 分解因式：
(1)$x^2 + 5x + 6$；
(2)$x^2 - 5x - 6$。

答案： 解:
(1)因为6=2×3,1×3+1×2=5,所以x²+5x+6=(x+2)(x+3).
(2)因为-6=1×(-6),1×(-6)+1×1=-5,所以x²-5x-6=(x+1)(x-6).