《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

3. [2023 广西中考]
分解因式：$ x^2 + 5x = $x(x+5).

答案： x(x+5)

4. [教材第126页练习第1题变式]
分解因式：
(1)$ 2m^2 - mq^2 $；
(2)$ 2m(m - n)^2 - 8m^2(n - m) $.

答案： 解:
(1)原式=m·2m-m·q²=m(2m-q²).
(2)原式=2m·(n-m)²-8m²·(n-m)=2m(n-m)(n-m-4m)=2m(n-m)(n-5m).

5. [教材第125页练习第3题变式]
利用因式分解计算：
(1)$ 562 × 199.9 - 462 × 199.9 $；
(2)$ 2025 + 2025^2 - 2025 × 2026 $.

答案： 解:
(1)原式=199.9×(562-462)=199.9×100=19990.
(2)原式=2025×(1+2025-2026)=2025×0=0.

6. 长、宽分别为 $ a $,$ b $ 的长方形周长为 12,面积为 10,则 $ a^2b + ab^2 $ 的值为(60).
A.120
B.60
C.80
D.40

答案： B 提示:由题意,得a+b=12÷2=6,ab=10.所以a²b+ab²=ab(a+b)=10×6=60.

7. [教材第126页练习第2题变式]先分解因式,再求值：$ 7y(x - 3y)^2 - 2(3y - x)^3 $,其中 $ x $,$ y $ 满足 $ \begin{cases} 2x + y = 6, \\ x - 3y = 1. \end{cases} $

答案： 解:原式=7y(x-3y)²+2(x-3y)²=(x-3y)²·[7y+2(x-3y)]=(x-3y)²(7y+2x-6y)=(x-3y)²·(2x+y).因为2x+y=6,x-3y=1,所以原式=1²×6=6.

8. 理解与应用
【阅读材料】对于多项式 $ x^2 + x - 2 $,当 $ x = 1 $ 时,$ x^2 + x - 2 = 0 $,则可以判定多项式 $ x^2 + x - 2 $ 中有因式 $ x - 1 $,可设 $ x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + m) $($ m $ 为常数),通过展开多项式 $ (x - 1)(x + m) $,可得 $ x^2 + (m - 1)x - m = x^2 + x - 2 $.所以 $ m - 1 = 1 $.解得 $ m = 2 $.我们把这种分解因式的方法叫作“试根法”.
【方法应用】(1)用“试根法”分解因式：$ x^2 - x - 2 = $(x+1)(x-2).
【方法探究】(2)已知把关于 $ x $ 的二次三项式 $ x^2 + px - q $($ p $,$ q $ 为常数)分解因式后,有一个因式是 $ x - 2 $,求 $ 2p - q $ 的值.
解:设x²+px-q=(x-2)(x+n).因为(x-2)(x+n)=x²+(n-2)x-2n,所以x²+px-q=x²+(n-2)x-2n.由此可得p=n-2,q=2n.故2p-q=2(n-2)-2n=2n-4-2n=-4.
【拓展探究】(3)用“试根法”把多项式 $ x^3 + 2x^2 - 3 $ 分解因式,得 $ x^3 + 2x^2 - 3 = (x + a)(x^2 + bx + 3) $,求 $ a $,$ b $ 的值.
因为(x+a)(x²+bx+3)=x³+bx²+3x+ax²+abx+3a=x³+(a+b)x²+(ab+3)x+3a=x³+2x²-3,所以a+b=2,3a=-3.解得a=-1,b=3.

答案：
(1)(x+1)(x-2) 提示:当x=-1时,x²-x-2=0.则设x²-x-2=(x+1)(x+m),又(x+1)(x+m)=x²+(m+1)x+m,则有x²-x-2=x²+(m+1)x+m.所以m=-2.故x²-x-2=(x+1)(x-2).
(2)解:设x²+px-q=(x-2)(x+n).因为(x-2)(x+n)=x²+(n-2)x-2n,所以x²+px-q=x²+(n-2)x-2n.由此可得p=n-2,q=2n.故2p-q=2(n-2)-2n=2n-4-2n=-4.
(3)因为(x+a)(x²+bx+3)=x³+bx²+3x+ax²+abx+3a=x³+(a+b)x²+(ab+3)x+3a=x³+2x²-3,所以a+b=2,3a=-3.解得a=-1,b=3.