《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

6. [2024 四川宜宾中考]如图 11,点$D$,$E分别是等边三角形ABC边BC$,$AC$上的点,且$BD = CE$,$BE与AD交于点F$。求证$AD = BE$。

答案： 证明:
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ AB=BC,∠ABD=∠BCE=60°.在△ABD 和△BCE 中,$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ABD=∠BCE, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴ △ABD≌△BCE(SAS).
∴ AD=BE.

7. 如图 12,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 120^{\circ}$,$AD \perp BC$,垂足为$G$,且$AD = AB$。$\angle EDF = 60^{\circ}$,其两边分别交边$AB$,$AC于点E$,$F$。
(1) 求证：$\triangle ABD$是等边三角形。
(2) 求证$BE = AF$。

答案：
(1)证明:
∵ AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=120°,
∴ ∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×120°=60°.
∵ AD=AB,
∴ △ABD 是等边三角形.
(2)证明:
∵ △ABD 是等边三角形,
∴ ∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD.
∵ ∠EDF=60°,∠DAC=60°,
∴ ∠ADB=∠EDF,∠DBE=∠DAF.
∴ ∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE,即∠BDE=∠ADF.在△BDE 和△ADF 中,$\begin{cases} ∠DBE=∠DAF, \\ BD=AD, \\ ∠BDE=∠ADF, \end{cases}$
∴ △BDE≌△ADF(ASA).
∴ BE=AF.

8. 探究与证明
【图形呈现】如图 13,$O是等边三角形ABC$内一点,$D是\triangle ABC$外一点,$\angle AOB = 110^{\circ}$,$\angle BOC = \alpha$,$\triangle BOC \cong \triangle ADC$,$\angle OCD = 60^{\circ}$,连接$OD$。
【分析证明】(1) 求证：$\triangle OCD$是等边三角形。
(2) 当$\alpha = 150^{\circ}$时,试判断$\triangle AOD$的形状,并说明理由。
【拓展探究】(3) 当$\alpha$为多少度时,$\triangle AOD$是等腰三角形。

答案：
(1)证明:
∵ △BOC≌△ADC,
∴ OC=DC.
∵ ∠OCD=60°,
∴ △OCD 是等边三角形.
(2)解:△AOD 是直角三角形.理由:
∵ △OCD 是等边三角形,
∴ ∠ODC=60°.
∵ △BOC≌△ADC,α=150°,
∴ ∠ADC=∠BOC=α=150°.
∴ ∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°.
∴ △AOD 是直角三角形.
(3)解:
∵ △OCD 是等边三角形,
∴ ∠COD=∠ODC=60°.
∵ △BOC≌△ADC,
∴ ∠ADC=∠BOC=α.
∴ ∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°.又
∵ ∠AOB=110°,
∴ ∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α.
∴ ∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°.①当∠AOD=∠ADO 时,则有 190°-α=α-60°.
∴ α=125°.②当∠AOD=∠OAD 时,则有 190°-α=50°.
∴ α=140°.③当∠ADO=∠OAD 时,则有 α-60°=50°.
∴ α=110°.综上所述,当α=110°或 125°或 140°时,△AOD 是等腰三角形.