《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

7. 如图 14,在△ABC 中,D 是 BC 延长线上一点,满足 DC = AB,过点 C 作 CE // AB,且 CE = BC,连接 DE 并延长,分别交 AC,AB 于点 F,G。
(1)求证△ABC ≌ △DCE。
(2)已知∠B = 50°,∠D = 22°,求∠AFG 的度数。

答案：
(1)证明:
∵ CE//AB.
∴ ∠B=∠ECD.在△ABC和△DCE中
AB=DC,
∠B=∠ECD,
BC=CE,
∴ △ABC≌△DCE(SAS).
(2)解:
∵ △ABC≌△DCE,
∴ ∠ECD=∠B=50°,∠A=∠D=22°.
∴ ∠CED=180°−∠D−∠ECD=108°.
∵ CE//AB,
∴ ∠ACE=∠A=22°.
∴ ∠AFG=∠DFC=∠CED−∠ACE=86°.

8. 综合与探究
【阅读理解】
(1)如图 15,在△ABC 中,AB = 10,BC = 8。求 AC 边上的中线 BD 的取值范围。小聪同学是这样思考的；延长 BD 至点 E,使 ED = BD,连接 CE。利用全等将边 AB 转化到 CE,在△BCE 中利用三角形三边关系即可求出中线 BD 的取值范围。在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是SAS,中线 BD 的取值范围是1＜BD＜9。
【理解应用】
(2)如图 16,在△ABC 中,∠B = 90°,D 是 AC 的中点,点 M 在 AB 边上,点 N 在 BC 边上,DM ⊥ DN。试猜想线段 AM,CN,MN 三者之间的数量关系,并证明你的结论。
【问题解决】
(3)如图 17,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,AB = BM,BC = NB,其中∠ABM = ∠NBC = 90°,连接 AM,CN,MN。探索 BD 与 MN 的数量关系和位置关系,并说明理由。

(1) SAS　1＜BD＜9　提示:
∵ BD是AC边上的中线,
∴ AD=CD.在△ABD和△CED中,
AD=CD,
∠ADB=∠CDE,
BD=ED,
∴ △ABD≌△CED(SAS).
∴ CE=AB=10.在△CBE中,CE−BC＜BE＜CE+BC.
∴ 2＜BE＜18.
∵ BE=2BD,
∴ 1＜BD＜9.
(2) AM+CN＞MN.证明:如图14,延长ND至点F,使FD=ND,连接AF,MF.
∵ D是AC的中点,
∴ AD=CD.在△AFD和△CND中,
AD=CD,
∠ADF=∠CDN,
FD=ND,
∴ △AFD≌△CND(SAS).
∴ AF=CN.
∵ DM⊥DN,
∴ ∠MDF=∠MDN=90°.在△MFD和△MND中
MD=MD,
∠MDF=∠MDN,
FD=ND,
∴ △MFD≌△MND(SAS).
∴ MF=MN.在△AFM中,AM+AF＞MF.
∴ AM+CN＞MN.
(3) 2BD=MN,BD⊥MN.理由:如图15,延长BD至点E,使DE=BD,连接CE.同
(1)可得△ABD≌△CED,
∴ ∠ABD=∠E,AB=CE.
∵ ∠ABM=∠NBC=90°,
∴ ∠ABC+∠MBN=180°,即∠ABD+∠CBD+∠MBN=180°.
∵ ∠E+∠CBD+∠BCE=180°,
∴ ∠BCE=∠MBN.
∵ AB=BM,
∴ CE=BM.在△BCE和△NBM中,
CE=BM,
∠BCE=∠MBN,
BC=NB,
∴ △BCE≌△NBM(SAS).
∴ EB=MN,∠EBC=∠MNB.
∴ 2BD=MN.延长DB交MN于点G,
∵ ∠NBC=90°,
∴ ∠EBC+∠NBG=90°.
∴ ∠MNB+∠NBG=90°.
∴ ∠BGN=90°.
∴ BD⊥MN.

答案： 解:
(1) SAS　1＜BD＜9　提示:
∵ BD是AC边上的中线,
∴ AD=CD.在△ABD和△CED中,
AD=CD,
∠ADB=∠CDE,
BD=ED,
∴ △ABD≌△CED(SAS).
∴ CE=AB=10.在△CBE中,CE−BC＜BE＜CE+BC.
∴ 2＜BE＜18.
∵ BE=2BD,
∴ 1＜BD＜9.
(2) AM+CN＞MN.证明:如图14,延长ND至点F,使FD=ND,连接AF,MF.
∵ D是AC的中点,
∴ AD=CD.在△AFD和△CND中,
AD=CD,
∠ADF=∠CDN,
FD=ND,
∴ △AFD≌△CND(SAS).
∴ AF=CN.
∵ DM⊥DN,
∴ ∠MDF=∠MDN=90°.在△MFD和△MND中
MD=MD,
∠MDF=∠MDN,
FD=ND,
∴ △MFD≌△MND(SAS).
∴ MF=MN.在△AFM中,AM+AF＞MF.
∴ AM+CN＞MN.
(3) 2BD=MN,BD⊥MN.理由:如图15,延长BD至点E,使DE=BD,连接CE.同
(1)可得△ABD≌△CED,
∴ ∠ABD=∠E,AB=CE.
∵ ∠ABM=∠NBC=90°,
∴ ∠ABC+∠MBN=180°,即∠ABD+∠CBD+∠MBN=180°.
∵ ∠E+∠CBD+∠BCE=180°,
∴ ∠BCE=∠MBN.
∵ AB=BM,
∴ CE=BM.在△BCE和△NBM中,
CE=BM,
∠BCE=∠MBN,
BC=NB,
∴ △BCE≌△NBM(SAS).
∴ EB=MN,∠EBC=∠MNB.
∴ 2BD=MN.延长DB交MN于点G,
∵ ∠NBC=90°,
∴ ∠EBC+∠NBG=90°.
∴ ∠MNB+∠NBG=90°.
∴ ∠BGN=90°.
∴ BD⊥MN.