《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

3. 如图6,$CE$,$CB分别是\triangle ABC$,$\triangle ADC$的中线,$AC = AB$,$\angle ACB = \angle ABC$。求证$CD = 2CE$。

答案：
证明:如图38,过点B作BF//AC交CE的延长线于点F.
∵ CE是△ABC的中线,
∴ AE=BE.
∵ BF//AC,
∴ ∠A=∠EBF,∠ACE=∠F.
在△ACE和△BFE中,
{∠A=∠EBF,
∠ACE=∠F,
AE=BE,
∴ △ACE≌△BFE(AAS).
∴ CE=FE,AC=BF.
∴ CF=2CE.
∵ AC=AB,CB是△ADC的中线,
∴ AC=AB=BD=BF.
∵ ∠DBC=∠A+∠ACB,∠FBC=∠EBF+∠ABC,∠ACB=∠ABC,
∴ ∠DBC=∠FBC.
在△DBC和△FBC中,
{BD=BF,
∠DBC=∠FBC,
BC=BC,
∴ △DBC≌△FBC(SAS).
∴ CD=CF=2CE.

例4
如图7,在$\triangle ABC$中,$AB ＞ AC$,$\angle 1 = \angle 2$,$P为AD$上任意一点。求证$AB - AC ＞ PB - PC$。

答案： 证明:如图36,在AB上截取AE,使AE=AC,连接PE.
在△AEP和△ACP中,
{AE=AC,
∠1=∠2,
AP=AP,
∴ △AEP≌△ACP(SAS).
∴ PE=PC.
在△BEP中,BE＞PB−PE,
∴ AB−AC＞PB−PC.