《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

例2
如图6,∠ACD是△ABC的外角,BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,BF平分∠EBC,CF平分∠ECD,∠A= 56°。求∠BFC的度数。

答案：
∵ CE平分∠ACD,BE平分∠ABC.
∴ ∠ECD= $\frac{1}{2}$∠ACD,∠EBC= $\frac{1}{2}$∠ABC.又
∵ ∠ECD=∠E+∠EBC,
∴ ∠E=∠ECD-∠EBC= $\frac{1}{2}$∠ACD- $\frac{1}{2}$∠ABC.又
∵ ∠A=∠ACD-∠ABC,
∴ ∠E= $\frac{1}{2}$∠A= $\frac{1}{2}$×56=28°.同理可得,∠BFC= $\frac{1}{2}$∠E=14°.

3. 如图7,BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是△ABC的外角∠ACM的平分线。若∠ABP= 20°,∠ACP= 50°,则∠P= 30°,∠A= 60°。

答案： 30 60 提示:由三角形的角平分线的性质,得∠PCM=∠ACP=50°,∠PBC=∠ABP=20°.由三角形的内角和定理的推论,得∠P=∠PCM-∠CBP=50°-20°=30°.观察图形,发现此图形属于一内一外角平分线模型,则有∠A=2∠P=60°.

4. 如图8,∠MON= 90°,点A,B分别在射线OM,ON上移动(不与点O重合),AC平分∠MAB,AC的反向延长线与∠ABO的平分线相交于点D。
(1) 当∠ABO= 70°时,求∠D的度数。
(2) 随着点A,B的移动,∠D的大小是否变化？请说明理由。

答案：
(1)
∵ ∠MON=90°,∠ABO=70°,
∴ ∠MAB=∠AOB+∠ABO=90°+70°=160°.
∵ AC平分∠MAB,
∴ ∠CAB= $\frac{1}{2}$∠MAB=80°.
∵ BD平分∠ABO,
∴ ∠ABD= $\frac{1}{2}$∠ABO=35°.又
∵ ∠CAB=∠ABD+∠D,
∴ ∠D=∠CAB-∠ABD=80°-35°=45°.
(2)∠D的大小不变.理由:
∵ ∠MAB=∠AOB+∠ABO=90°+∠ABO,AC平分∠MAB,
∴ ∠CAB= $\frac{1}{2}$∠MAB=45°+ $\frac{1}{2}$∠ABO.
∵ BD平分∠ABO,
∴ ∠ABD= $\frac{1}{2}$∠ABO.又
∵ ∠CAB=∠ABD+∠D,
∴ ∠D=∠CAB-∠ABD=45°+ $\frac{1}{2}$∠ABO- $\frac{1}{2}$∠ABO=45°.
∴ ∠D的大小不变.