《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

例 1 计算：$3(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)(2^{16}+1)+1$。
思路点拨 当出现多个两项因式相乘时,要仔细观察式子的特点,看能否“凑”出符合平方差公式结构的形式,连续运用平方差公式计算。本题将“$3$”改写为“$2^{2}-1$”,即可构造出符合平方差公式的结构形式“$(2^{2}-1)(2^{2}+1)$”。

答案： 解:原式=(2²-1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)+1=(2⁴-1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)+1=(2⁸-1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)+1=(2¹⁶-1)(2¹⁶+1)+1=2³²-1+1=2³².

1. 运用乘法公式简便计算：
(1)$101^{2}-201$；
(2)$2025^{2}-2024×2026$；
(3)$99^{2}-102×98$。

答案：
(1)原式=(100+1)²-201=100²+200+1²-201=10 000+201-201=10 000.
(2)原式=2 025²-(2 025-1)×(2 025+1)=2 025²-(2 025²-1²)=2 025²-2 025²+1=1.
(3)原式=(100-1)²-(100+2)×(100-2)=100²-2×100×1+1²-(100²-2²)=100²-200+1-100²+4=-195.

例 2 先化简,再求值：$(2x+y)^{2}+(x+y)(x-y)-5x(x-y)$,其中$\sqrt{x - 1}+|y + 2| = 0$。
思路点拨 先根据乘法公式和单项式乘多项式进行化简,再合并同类项。由二次根式和绝对值的非负性得出$x$,$y$的值,再代入求值。

答案： 解:原式=4x²+4xy+y²+x²-y²-5x²+5xy=9xy.由√(x-1)+|y+2|=0,得x-1=0,y+2=0.解得x=1,y=-2.当x=1,y=-2时,原式=9×1×(-2)=-18.