《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

1. 在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,则(A)。
A.$AB = 2AC$
B.$AC = 2AB$
C.$AB = AC$
D.$AB = 3AC$

答案： A

2. [生活情境]如图 6,一棵树在一次强台风中于离地面 $2$ m 处折断倒下,倒下部分与地面成 $30^{\circ}$ 角,这棵树在折断前的高度为(C)。

A.$10$ m
B.$8$ m
C.$6$ m
D.$4$ m

答案： C

3. [教材第 92 页复习题 15 第 7 题变式]如图 7,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$CD \perp AB$ 于点 $D$,$\angle A = 30^{\circ}$,$BD = 2$,则 $AD$ 的长为(B)。

A.$8$
B.$6$
C.$4$
D.$3$

答案： B

4. 在 $\triangle ABC$ 中,若 $\angle A : \angle B : \angle C = 1 : 2 : 3$,且最长边的长为 $6$,则最短边的长是3。

答案： 3

5. 如图 8,$\angle ACD = 90^{\circ}$,$\angle D = 15^{\circ}$,点 $B$ 在 $AD$ 的垂直平分线上,若 $AC = 4$,则 $AB$ 的长为8。

答案： 8

6. 如图 9,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$\angle BAC = 120^{\circ}$,$D$ 是 $BC$ 的中点,$AD = 3$,求 $AB$ 的长。

答案： 解:
∵　AB=AC,∠BAC=120°,
∴　∠B=∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC)=30°.
∵　AB=AC,D是BC的中点，
∴　∠ADB=90°.
∵　AD=3,
∴　AB=2AD=6.

7. [2025 山东东营中考]如图 10,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = 6$,$\angle BAC = 30^{\circ}$,$\angle BAC$ 的平分线交 $BC$ 于点 $D$,$M$,$N$ 分别是 $AD$,$AB$ 上的动点,则 $BM + MN$ 的最小值是______。

3

答案： 3　　提示:如图80,过点B作BH⊥AC于点H.作点N关于AD的对称点K.因为AD平分∠BAC,所以点K在边AC上.由垂线段最短,得BM+MN=BM+MK≥BH.在Rt△ABH中,AB=6,∠BAC=30°,所以BH=$\frac{1}{2}$AB=6×$\frac{1}{2}$=3,即BM+MN≥3.故BM+MN的最小值是3.

8. 【图形呈现】如图 11,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle A = 30^{\circ}$,$BC = 12$ cm。动点 $P$ 从点 $A$ 出发,沿 $AB$ 向点 $B$ 运动,动点 $Q$ 从点 $B$ 出发,沿 $BC$ 向点 $C$ 运动。已知点 $P$ 以 $2$ cm/s,点 $Q$ 以 $1$ cm/s 的速度同时出发。设运动时间为 $t$(s)。
【解答问题】(1) 当 $t$ 为多少时,$\triangle PBQ$ 是等边三角形？请说明理由。
(2) 当 $t$ 为多少时,$\triangle PBQ$ 是直角三角形？请说明理由。

答案： 解:
(1)当t为8时,△PBQ是等边三角形.理由:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=12cm,
∴　∠B=60°,AB=2BC=24cm.根据题意,得PB=(24−2t)cm，BQ=t cm.要使△PBQ是等边三角形,则有PB=BQ,即24−2t=t,解得t=8.故当t为8时,△PBQ是等边三角形.
(2)当t为6或9.6时,△PBQ是直角三角形.理由:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=12cm,
∴　∠B=60°,AB=2BC=24cm.根据题意,得PB=(24−2t)cm,BQ=t cm.当∠PQB=90°时,则∠QPB=30°,
∴　BP=2BQ,即24−2t=2t.解得t=6.当∠QPB=90°时,则∠PQB=30°,
∴　BQ=2BP,即t=2(24−2t).解得t=9.6.综上所述，当t为6或9.6时，△PBQ是直角三角形