《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

17. (16 分)如图 15,在四边形$ABCD$中,$AD // BC$,$E为CD$的中点,连接$AE$,$BE$,延长$AE交BC的延长线于点F$。

(1)$\triangle DAE和\triangle CFE$全等吗？请说明理由。
(2)当$AB = BC + AD$时,求证$BE \perp AF$。
(3)在(2)的条件下,已知$EF = 6$,$CE = 5$,$∠D = 90^{\circ}$,求点$E到AB$的距离。

答案：
(1)解:△DAE≌△CFE.理由:
∵ AD//BC,
∴ ∠ADE=∠FCE.
∵ E 是 CD 的中点,
∴ DE=CE.在△ADE 和△FCE 中$\left\{\begin{array}{l}\angle ADE=\angle FCE\\ DE=CE\\ \angle AED=\angle FEC\end{array}\right.$,
∴ △ADE≌△FCE(ASA).
(2)证明:由
(1)知△ADE≌△FCE,
∴ AE=FE,AD=FC.
∵ AB=BC+AD,
∴ AB=BC+FC,即 AB=FB.在△ABE 和△FBE 中$\left\{\begin{array}{l}AB=FB\\ AE=FE\\ BE=BE\end{array}\right.$,
∴ △ABE≌△FBE(SSS).
∴ ∠AEB=∠FEB=90°,即 BE⊥AF.
(3)在
(2)的条件下有△ABE≌△FBE,
∴ ∠ABE=∠FBE,即 BE 是∠ABF 的平分线.
∴ 点 E 到 BF 的距离等于点 E 到 AB 的距离.
∵ ∠D=90°,∠ECF=∠D,CE=5,
∴ 点 E 到 AB 的距离为 5.

18. (20 分)综合与探究
【特例呈现】如图 16,$AB = 7$ cm,$AC \perp AB$,$BD \perp AB$,垂足分别为$A$,$B$,$AC = 5$ cm。点$P在线段AB上以2$ cm/s 的速度由点$A向点B$运动,同时,点$Q在射线BD$上运动。它们运动的时间为$t$(s),当点$P运动到点B$时,$P$,$Q$两点停止运动。
【初步探究】(1)点$Q的运动速度与点P$的运动速度相等,当$t = 1$ s 时,$\triangle ACP与\triangle BPQ$是否全等,并判断此时线段$PC和线段PQ$的位置关系,请分别说明理由。
【类比探究】(2)如图 17,将“$AC \perp AB$,$BD \perp AB$”改为“$∠A = ∠DBA = 60^{\circ}$”,点$Q的运动速度为x$ cm/s,其他条件不变,当点$P$,$Q$运动到某处时,有$\triangle ACP与\triangle BPQ$全等,求出相应的$x$,$t$的值。

答案： 解:
(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ.理由:
∵ AC⊥AB,BD⊥AB,
∴ ∠A=∠B=90°.
∵ t=1s,
∴ AP=BQ=2cm.
∵ AB=7cm,
∴ BP=7 - 2=5(cm).
∴ BP=AC.在△ACP 和△BPQ 中$\left\{\begin{array}{l}AP=BQ\\ \angle A=\angle B\\ AC=BP\end{array}\right.$,
∴ △ACP≌△BPQ(SAS).
∴ ∠C=∠BPQ.
∵ ∠C+∠APC=90°,
∴ ∠APC+∠BPQ=90°.
∴ ∠CPQ=90°,即 PC⊥PQ.
(2)由题意,得 AP=2tcm,BP=(7 - 2t)cm,BQ=xtcm.
∵ ∠A=∠B,
∴ 当 AC=BP,AP=BP 时,可得△ACP≌△BPQ(SAS).
∴ 5=7 - 2t,2t=xt.解得 x=2,t=1.同理可得,当 AC=BQ,AP=BP 时,可得△ACP≌△BQP(SAS).
∴ 5=xt,2t=7 - 2t.解得 x=$\frac{20}{7}$,t=$\frac{7}{4}$.