《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

5. 如图 11,已知线段 $a$ 和 $\angle \alpha$,用直尺和圆规作等腰三角形 $ABC$,使底角 $\angle B= \angle \alpha$,腰长 $AB= AC= a$.(不写作法,保留作图痕迹)

答案：
如图73,△ABC就是所求作的等腰三角形.　　　　　　　

6. [2025 四川自贡中考]如图 12,$\angle ABE= \angle BAF$,$CE= CF$.求证 $AE= BF$.

答案： 证明:
∵　∠ABE=∠BAF,
∴　AC=BC.在△ACE和△BCF中,AC=BC,∠ACE=∠BCF,CE=CF,
∴　△ACE≌△BCF(SAS).
∴　AE=BF.

7. [教材第 93 页复习题 15 第 11 题变式]如图 13,在 $\triangle ABC$ 中,$AB= AC$,点 $D$,$E$,$F$ 分别在 $AB$,$BC$,$AC$ 边上,且 $BE= CF$,$BD= CE$.
(1)求证：$\triangle DEF$ 是等腰三角形.
(2)当 $\angle A= 50^{\circ}$ 时,求 $\angle DEF$ 的度数.

答案：
(1)证明:
∵　AB=AC,
∴　∠B=∠C.在△BDE和△CEF中,BD=CE,∠B=∠C,BE=CF,
∴　△BDE≌△CEF(SAS).
∴　DE=EF.
∴　△DEF是等腰三角形.
(2)解:
∵　△BDE≌△CEF,
∴　∠BDE=∠CEF.
∴　∠BED+∠CEF=∠BED+∠BDE.
∵　∠B+(∠BED+∠BDE)=180°,∠DEF+(∠BED+∠CEF)=180°,
∴　∠B=∠DEF.
∵　∠A=50°,AB=AC,
∴　∠B=$\frac{1}{2}$×(180°−50°)=65°.
∴　∠DEF=65°.

8. (1) 如图 14,已知在 $\triangle ABC$ 中,$AB= AC$,$\angle ABC$,$\angle ACB$ 的平分线相交于点 $O$,过点 $O$ 作 $EF// BC$ 分别交 $AB$,$AC$ 于点 $E$,$F$.
①图 14 中有5个等腰三角形.
②请判断 $EF$ 与 $BE$,$CF$ 之间的数量关系,并说明理由.
EF=BE+CF=2BE=2CF.理由:
∵　EF//BC,
∴　∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB.又
∵　∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,
∴　∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB.
∴　∠EOB=∠EBO,∠FCO=∠FOC.
∴　OE=BE,OF=CF.
∴　EF=OE+OF=BE+CF.又AB=AC,
∴　∠ABC=∠ACB.
∴　∠EOB=∠EBO=∠FCO=∠FOC=∠OBC=∠OCB.
∴　OB=OC.在△BEO和△CFO中,∠EBO=∠FCO,OB=OC,∠EOB=∠FOC,
∴　△BEO≌△CFO(ASA).
∴　BE=CF.
∴　EF=BE+CF=2BE=2CF.
(2)如图 15,若 $AB\neq AC$,其他条件不变,则图中还有等腰三角形吗？如果有,那么请写出它们.第(1)小题中 $EF$ 与 $BE$,$CF$ 之间的数量关系还成立吗？(直接作出判断,无需说明理由)
有2个等腰三角形,分别为△OBE,△OCF.第(1)小题中的EF与BE,CF之间的数量关系仍存在,EF=BE+CF.

答案：
(1)①5；②EF=BE+CF=2BE=2CF.理由:
∵　EF//BC,
∴　∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB.又
∵　∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,
∴　∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB.
∴　∠EOB=∠EBO,∠FCO=∠FOC.
∴　OE=BE,OF=CF.
∴　EF=OE+OF=BE+CF.又AB=AC,
∴　∠ABC=∠ACB.
∴　∠EOB=∠EBO=∠FCO=∠FOC=∠OBC=∠OCB.
∴　OB=OC.在△BEO和△CFO中,∠EBO=∠FCO,OB=OC,∠EOB=∠FOC,
∴　△BEO≌△CFO(ASA).
∴　BE=CF.
∴　EF=BE+CF=2BE=2CF.
(2)有2个等腰三角形,分别为△OBE,△OCF.第
(1)小题中的EF与BE,CF之间的数量关系仍存在,EF=BE+CF.