《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

5. [教材第52页习题14.3第1题变式]如图12,在$\triangle ABC$中,$D是BC$的中点,$DE \perp AB于点E$,$DF \perp AC于点F$,且$\angle BDE = \angle CDF$.求证：$AD平分\angle BAC$.

答案： 证明：
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB＝∠DFC＝90°.
∵ D是BC的中点，
∴ BD＝CD.在△BED和△CFD中，∠BDE＝∠CDF，∠DEB＝∠DFC，BD＝CD，
∴ △BED≌△CFD(AAS).
∴ DE＝DF.又
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ 点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC.

6. [教材第59页复习题14第8题变式]如图13,直线表示相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等.可供选择的地址有几处？请画出一种方案.
画一画

答案： 解：如图31，可供选择的地址有四处.(画出A，B，C，D中的一点即可)

7. [教材第51页练习第2题变式]如图14,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC的平分线与\triangle ABC的外角\angle ACE的平分线交于点P$,$PD \perp AC于点D$,$PH \perp BA于点H$.
(1)已知$PH = 8\ cm$,求点$P到直线BC$的距离.
(2)求证：点$P在\angle HAC$的平分线上.
微课

答案：
(1)解：如图32，过点P作PQ⊥BE于点Q.
∵ BP平分∠ABC，PH⊥BA，PQ⊥BE，
∴ PQ＝PH＝8 cm，即点P到直线BC的距离为8 cm.
(2)证明：
∵ PC平分∠ACE，PD⊥AC，PQ⊥BE，
∴ PD＝PQ.由
(1)可知，PH＝PQ，
∴ PD＝PH.又PH⊥BA，
∴ 点P在∠HAC的平分线上.

8. 如图15,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$BD是Rt\triangle ABC$的角平分线,点$P在BD$上,过点$P作PE \perp BC于点E$,$PF \perp AC于点F$,$PE = PF$,连接$AP$.
(1)求证：$AP平分\angle BAC$.
(2)已知$AC = 5$,$BC = 12$,$AB = 13$,求$PE$的长.
微课

答案：
(1)证明：如图33，过点P作PG⊥AB于点G.
∵ BD平分∠ABC，PE⊥BC，PG⊥AB，
∴ PE＝PG.又PE＝PF，
∴ PG＝PF.又PF⊥AC，
∴ AP平分∠BAC.
(2)解：如图33，连接PC.由
(1)知PE＝PF＝PG.在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，
∴ S△ABC ＝$\frac{1}{2}$×12×5＝30.
∵ S△ABC ＝S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝$\frac{1}{2}$×12PE＋$\frac{1}{2}$×5PE＋$\frac{1}{2}$×13PE＝15PE，
∴ 15PE＝30.
∴ PE＝2.