《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

例2 如图4,$ OP 平分 \angle MON $,$ PA \perp OM 于点 A $,$ PB \perp ON 于点 B $,连接$ AB 交 OP 于点 C $.求证$ OP 垂直平分 AB $.

答案： 方法1(判定定理法)证明:
∵ OP平分∠MON,
∴ ∠AOP=∠BOP.又
∵ PA⊥OM,PB⊥ON,
∴ PA = PB，∠PAO = ∠PBO = 90°,
∴ 点P在AB的垂直平分线上.在△AOP和△BOP中,{∠AOP=∠BOP,∠PAO=∠PBO,PA=PB,
∴ △AOP≌△BOP(AAS).
∴ OA=OB.
∴ 点O在线段AB的垂直平分线上.
∴ OP垂直平分AB.　方法2(定义法)证明:同方法1可得△AOP≌△BOP.
∴ OA=OB.
∵ OP平分∠MON,
∴ ∠AOC=∠BOC.在△AOC和△BOC中,{OA=OB,∠AOC=∠BOC,OC=OC,
∴ △AOC≌△BOC(SAS).
∴ ∠ACO=∠BCO=90°,AC=BC.
∴ OP⊥AB.
∴ OP垂直平分AB.

1. [2025四川达州中考]如图5,在$ \triangle ABC $中,$ AB = AC = 8 $,$ BC = 5 $,线段$ AB 的垂直平分线交 AB 于点 E $,交$ AC 于点 D $,则$ \triangle BDC $的周长为(C).

A.21
B.14
C.13
D.9

答案： C

例3 [教材第67页练习第3题变式]写出下列各命题的逆命题,并判断这些逆命题是否成立.
(1)同位角相等.
(2)全等三角形的周长相等.
思路点拨 交换命题的题设与结论即可得到逆命题；再判定逆命题的真假.

答案： 解:
(1)逆命题:如果两个角相等,那么这两个角是同位角.这个逆命题不成立.
(2)逆命题:如果两个三角形的周长相等,那么这两个三角形是全等三角形.这个逆命题不成立.

2. 下列定理中没有逆定理的是(A).
A.对顶角相等
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.两直线平行,内错角相等
D.直角三角形的两个锐角互余

答案： A

1. 如图6,在$ \triangle ABC $中,线段 BC 的垂直平分线分别交 BC , AB 于点 D , E .若 BE = 5 ,则 CE 的长是(C).

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： C

2. 下列说法正确的是(A).

A.命题一定有逆命题
B.所有的定理一定有逆定理
C.真命题的逆命题一定是真命题
D.假命题的逆命题一定是假命题

答案： A