《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

例2
如图3,在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle BAC$,$BD = CD$。求证$\angle BAC + \angle BDC = 180^{\circ}$。

答案：
证明:如图34,过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC交AC的延长线于点N.
∵ AD平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC,
∴ DM=DN,∠BMD=∠AMD=∠AND=90°.
在Rt△BDM和Rt△CDN中,
{BD=CD,
DM=DN,
∴ Rt△BDM≌Rt△CDN(HL).
∴ ∠BDM=∠CDN.
又
∵ ∠BDC=∠CDM+∠BDM,∠MDN=∠CDM+∠CDN,
∴ ∠BDC=∠MDN.
在△AMD和△AND中,∠AMD+∠AND+∠BAC+∠MDN=180°×2=360°,
∴ ∠BAC+∠BDC=∠BAC+∠MDN=360°−∠AMD−∠AND=180°.

2. 如图4,$AB // CD$,$BE平分\angle ABC$,$CE平分\angle BCD$,点$E在AD$上,求证$BC = AB + CD$。

答案：
证明:如图37,在BC上取点F,使FB=AB,连接EF.
∵ BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,
∴ ∠1=∠2,∠3=∠4.
在△ABE和△FBE中,
{AB=FB,
∠1=∠2,
BE=BE,
∴ △ABE≌△FBE(SAS).
∴ ∠A=∠5.
∵ AB//CD,
∴ ∠A+∠D=180°.
∴ ∠5+∠D=180°.
∵ ∠5+∠6=180°,
∴ ∠6=∠D.
在△CDE和△CFE中,
{∠6=∠D,
∠3=∠4,
CE=CE,
∴ △CDE≌△CFE(AAS).
∴ CD=CF.
∵ BC=FB+CF,
∴ BC=AB+CD.

例3
如图5(见下页),$\triangle ABC$中,$D为BC$的中点。
(1)求证$AB + AC ＞ 2AD$。
(2)当$AB = 5$,$AC = 3$时,求$AD$的取值范围。

答案：

(1)证明:如图35,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE.
∵ D为BC的中点,
∴ BD=CD.
在△ADC和△EDB中,
{AD=ED,
∠ADC=∠EDB,
CD=BD,
∴ △ADC≌△EDB(SAS).
∴ AC=EB.
在△ABE中,AB+EB＞AE,
∴ AB+AC＞2AD.
(2)解:在△ABE中,AB=5,EB=AC=3,
∴ 5−3＜AE＜5+3,即2＜2AD＜8.
∴ 1＜AD＜4.