《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

4. 如图 13,$\triangle ABC$ 与 $\triangle DEF$ 关于直线 $l$ 对称,请只用无刻度的直尺,在图形①②③中分别作出直线 $l$。

答案：
4.解:如图52,直线l就是所求作的对称轴.
　　

5. 尺规作图(不写作法,保留作图痕迹)：
(1) 如图 14,已知 $\triangle ABC$($AC ＜ BC$),在 $BC$ 上确定一点 $P$,使 $PA + PC = BC$。
(2) 如图 15,已知 $\triangle ABC$,过点 $A$ 作一条直线,使其将 $\triangle ABC$ 分成面积相等的两部分。

答案：
5.解:
(1)如图53,点P就是所求作的点.　　
(2)如图54,直线AD就是所求作的直线.
　　　

6. [教材第 71 页习题 15.1 第 10 题变式] 如图 16,$A$,$B$ 两镇位于国道 $l$ 的同侧,两镇距离国道分别有数千米。随着经济发展,过往车辆增多,政府规划在国道 $l$ 上新建一座多功能加油站,既为车辆提供便利,又促进两镇资源互通。请你帮助工程师解决以下规划问题：
(1) 公平选址：确定加油站位置 $P$,使得加油站到 $A$,$B$ 两镇的距离相等。
(2) 路径优化：从 $A$ 镇前往 $B$ 镇,需途经加油站加油。确定加油站位置 $Q$,使得总路程最短。
请分别作出上述两种情况下的加油站 $P$,$Q$ 的位置。(要求：尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)

答案：
6.解:
(1)如图55,点P就是所求作的加油站的位置.
(2)如图55,点Q就是所求作的加油站的位置.

7. 如图 17,$\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 关于直线 $MN$ 对称,$\triangle A'B'C'$ 和 $\triangle A''B''C''$ 关于直线 $EF$ 对称。
微课
(1) 尺规作图：画出直线 $EF$。(不写作法,保留作图痕迹)
(2) 设直线 $MN$ 与 $EF$ 相交于点 $O$,且两直线所夹锐角为 $\angle\alpha$,求 $\angle BOB''$ 与 $\angle\alpha$ 的数量关系。
(3) 求证：$O$ 是 $\triangle BB'B''$ 三边垂直平分线的交点。

答案：
7.
(1)解:如图56,直线EF就是所求作的直线.
(2)解:如图56,连接BO,B'O,B''O.
∵　△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称,△A'B'C'和△A''B''C''关于直线EF对称,
∴　∠BOM=∠B'OM',∠B'OF=∠B''OF.
∵∠α=∠B'OM+∠B'OF,∠BOB''=∠BOM+∠B'OM+∠B'OF+∠B''OF,
∴　∠BOB''=2∠α.　　
(3)证明:由题意可知,直线MN垂直平分BB',直线EF垂直平分B''B',即点O在BB',B''B'的垂直平分线上,
∴　OB=OB'=OB''.
∴　点O在BB''的垂直平分线上.
∴　点O是△BB'B''三边垂直平分线的交点.