《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

最短路径问题
探究一 牧民饮马问题
名师引导
模型：如图 1,两定点 $ A $,$ B $ 在直线 $ l $ 的同侧,在直线 $ l $ 上找一点 $ P $,使 $ PA + PB $ 最小。
作法：如图 2,作点 $ A $ 关于直线 $ l $ 的对称点 $ A' $,连接 $ A'B $,与直线 $ l $ 的交点即为点 $ P $。
结论：$ PA + PB $ 的最小值为 $ A'B $ 的长。

本题可根据给定的最短路径问题的模型和作法来求解，以下是详细的解题步骤：
求解在直线$l$上使$PA + PB$最小的点$P$及最小值
1. 作对称点：
作点$A$关于直线$l$的对称点$A'$。
2. 连接对称点与另一点并确定点$P$：
连接$A'B$，与直线$l$的交点即为所求的点$P$。
3. 计算最小值：
根据对称的性质可知$PA = PA'$，所以$PA + PB=PA' + PB$。
因为两点之间线段最短，所以$A'B$的长度就是$PA + PB$的最小值，即$PA + PB$的最小值为线段$A'B$的长。
综上，在直线$l$上找到的点$P$为$A'B$与直线$l$的交点，$PA + PB$的最小值为线段$A'B$的长度。

答案： 本题可根据给定的最短路径问题的模型和作法来求解，以下是详细的解题步骤：
求解在直线$l$上使$PA + PB$最小的点$P$及最小值
1. 作对称点：
作点$A$关于直线$l$的对称点$A'$。
2. 连接对称点与另一点并确定点$P$：
连接$A'B$，与直线$l$的交点即为所求的点$P$。
3. 计算最小值：
根据对称的性质可知$PA = PA'$，所以$PA + PB=PA' + PB$。
因为两点之间线段最短，所以$A'B$的长度就是$PA + PB$的最小值，即$PA + PB$的最小值为线段$A'B$的长。
综上，在直线$l$上找到的点$P$为$A'B$与直线$l$的交点，$PA + PB$的最小值为线段$A'B$的长度。

A. 点 $ C_1 $ 处
B. 点 $ C_2 $ 处
C. 点 $ C_3 $ 处
D. 点 $ C_4 $ 处

答案： B

2. 如图 4,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ AD $,$ BE $ 是 $ \triangle ABC $ 的两条中线,$ AD = 6 $,$ BE = 7 $,$ P $ 是 $ AD $ 上的一个动点,连接 $ PE $,$ PC $,则 $ PC + PE $ 的最小值是 ______。

7

答案： 7 提示:连接PB.因为AB=AC,AD是△ABC的中线,所以点C和点B关于直线AD对称.所以PC=PB.由此可得,PC+PE=PB+PE≥BE.当B,P,E三点共线时,PC+PE有最小值,最小值为BE=7.