《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

1. 我们把 $a^{2}+2ab + b^{2}$ 和 $a^{2}-2ab + b^{2}$ 这样的式子叫作完全平方式.

答案： 完全平方式

2. $a^{2}+2ab + b^{2}=$$(a+b)^2$,$a^{2}-2ab + b^{2}=$$(a-b)^2$,即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 $2$ 倍,等于这两个数的和(或差)的平方.

答案： $(a+b)^2$ $(a-b)^2$ 平方

1. $m^{2}+m + 1$不是完全平方式.(填“是”或“不是”)

答案： 不是

2. [2024 江苏盐城中考]
分解因式：$x^{2}+2x + 1= $$(x+1)^2$.

答案： $(x+1)^2$

3. 请将下面因式分解的过程补充完整：
$a^{2}-4ab + 4b^{2}$
$=($$a$$)^{2}-2\cdot($______$a$$)\cdot($______$2b$$)+$
$($$2b$$)^{2}$
$=($$a-2b$$)^{2}$.

答案： $a$ $a$ $2b$ $2b$ $a+2b$

例 1 [教材第 132 页习题 17.2 第 8 题变式]已知 $x^{2}+2(k - 3)x + 25$ 是完全平方式,则 $k$ 的值为8或-2.
思路点拨 先根据平方项确定“$a$”和“$b$”,再根据完全平方式的中间项是“$2ab$”或“$-2ab$”即可确定 $k$ 的值.

答案： 8或-2 提示:由完全平方式$x^2+2(k-3)x+25=x^2+2(k-3)x+5^2$,得$2(k-3)x=\pm 2\cdot 5x$.所以$k-3=5$或$k-3=-5$,解得$k=8$或$k=-2$.

1. 多项式 $x^{2}+xy + y^{2}$,$x^{2}-2xy + y^{2}$,$9x^{2}+30xy + 25y^{2}$,$y^{2}+y+\frac{1}{4}$ 中,属于完全平方式的有(B).
A.$4$ 个
B.$3$ 个
C.$2$ 个
D.$1$ 个

答案： B

例 2 分解因式：
(1)$a^{2}-14a + 49$；(2)$-m^{2}-m-\frac{1}{4}$；
(3)$a^{2}+2a(b + c)+(b + c)^{2}$.
思路点拨 先确定完全平方公式中的“$a$”,“$b$”,再套用完全平方公式分解因式. 注意第(3)题要将 $b + c$ 看作一个整体.

答案：
(1)
解：原式 $a^{2} - 14a + 49$
= $a^{2} - 2 × 7 × a + 7^{2}$
= $(a - 7)^{2}$
(2)
解：原式 $-m^{2} - m - \frac{1}{4}$
= $- (m^{2} + m + \frac{1}{4})$
= $- (m^{2} + 2 × \frac{1}{2} × m + (\frac{1}{2})^{2})$
= $- (m + \frac{1}{2})^{2}$
(3)
解：原式 $a^{2} + 2a(b + c) + (b + c)^{2}$
将 $b + c$ 看作一个整体，记为 $X$，则
= $a^{2} + 2aX + X^{2}$
= $(a + X)^{2}$
将 $X$ 替换回 $b + c$，得
= $(a + b + c)^{2}$