《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

3. 探究与应用
微课
【特例分析】
如图 6,在平面直角坐标系中,正方形$ABOC$,正方形$CODE各顶点的坐标分别为A(-2,2)$,$B(-2,0)$,$O(0,0)$,$C(0,2)$,$E(2,2)$,$D(2,0)$.
(1)正方形和长方形的重心是两条对角线的交点,在图中作出正方形$ABOC$,正方形$CODE$,长方形$ABDE的重心F,G,M$.
【归纳验证】
(2)根据(1)所作的图,验证:$x= \frac{S_1}{S_1 + S_2}x_1 + \frac{S_2}{S_1 + S_2}x_2$,$y= \frac{S_1}{S_1 + S_2}y_1+\frac{S_2}{S_1 + S_2}y_2$,其中$M(x,y)$,$F(x_1,y_1)$,$G(x_2,y_2)$,$S_1,S_2分别为正方形ABOC$,正方形$CODE$的面积.
【拓展应用】
(3)图 7 中的平面组合图形由一个长为 10、宽为 6 的长方形和一个边长为 4 的正方形组成.请建立平面直角坐标系,仿照上面的方法求该平面组合图形的重心坐标.

答案：
3. 解:
(1)如图 12.
(2)由图 12 可知,$M(0,1)$,$F(-1,1)$,$G(1,1)$,$\therefore x=0$,$y=1$,$x_{1}=-1$,$y_{1}=1$,$x_{2}=1$,$y_{2}=1$.根据题意,得正方形 ABOC 的面积$S_{1}=4$,正方形 CODE 的面积$S_{2}=4$.$\because \frac{S_{1}}{S_{1}+S_{2}}x_{1}+\frac{S_{2}}{S_{1}+S_{2}}x_{2}=\frac{4}{4+4}×(-1)+\frac{4}{4+4}×1=0$,$\frac{S_{1}}{S_{1}+S_{2}}y_{1}+\frac{S_{2}}{S_{1}+S_{2}}y_{2}=\frac{4}{4+4}×1+\frac{4}{4+4}×1=1$,$\therefore x=\frac{S_{1}}{S_{1}+S_{2}}x_{1}+\frac{S_{2}}{S_{1}+S_{2}}x_{2}$,$y=\frac{S_{1}}{S_{1}+S_{2}}y_{1}+\frac{S_{2}}{S_{1}+S_{2}}y_{2}$.

(3)以长方形左下角顶点为坐标原点,水平向右为 x 轴正方向,竖直向上为 y 轴正方向,建立平面直角坐标系,则长方形的重心为$(5,3)$,正方形的重心为$(12,2)$.$\because$ 长方形的长为 10、宽为 6,$\therefore S_{长方形}=10×6=60$.$\because$ 正方形的边长为 4,$\therefore S_{正方形}=4^{2}=16$.设该平面组合图形的重心坐标为$(m,n)$,则$m=\frac{60}{60+16}×5+\frac{16}{60+16}×12=\frac{123}{19}$,$n=\frac{60}{60+16}×3+\frac{16}{60+16}×2=\frac{53}{19}$,即该平面组合图形的重心坐标为$(\frac{123}{19},\frac{53}{19})$.