《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

例1 分解因式：
(1)$-12x^2y + 6xy - 18xy^2$；
(2)$x(x - y)^2 + xy(x - y) + 4y^2(y - x)$。

答案： 解:
(1)原式=-6xy·2x+(-6xy)·(-1)+(-6xy)·3y=-6xy(2x-1+3y)=-6xy(2x+3y-1).
(2)原式=x(x-y)²+xy(x-y)-4y²(x-y)=(x-y)[x(x-y)+xy-4y²]=(x-y)(x²-4y²)=(x-y)(x+2y)(x-2y).

(1)各项的公因式是$-6xy$,注意若首项为负,则负号也应提出。(2)把$y - x化为x - y$,可得各项的公因式是$x - y$,注意提公因式后要检查能否继续进行分解。

答案： 答案略

1. 分解因式：
(1)$-4a^3b^2 + 12a^2b - 4ab$；
(2)$1 + x + x(1 + x)$；
(3)$18(a - b)^2 - 12(b - a)^3$。

答案： 解:
(1)原式=-4ab(a²b-3a+1).
(2)原式=(1+x)+x(1+x)=(1+x)².
(3)原式=18(a-b)²+12(a-b)³=6(a-b)²(3+2a-2b)=6(a-b)²(2a-2b+3).

例2 分解因式：
(1)$(x^2 + 2x)^2 - (2x + 4)^2$；
(2)$9(a - b)^2 + 12(a^2 - b^2) + 4(a + b)^2$。

答案： 解:
(1)原式=(x²+2x+2x+4)(x²+2x-2x-4)=(x²+4x+4)(x²-4)=(x+2)²(x+2)(x-2)=(x+2)³(x-2).
(2)原式=[3(a-b)]²+2·3(a-b)·2(a+b)+[2(a+b)]²=[3(a-b)+2(a+b)]²=(5a-b)².

(1)先利用平方差公式分解,得到两个因式的乘积,再观察这两个因式能否继续分解,要进行到每个因式都不能再分解为止。
(2)观察式子,可以发现它与完全平方式形式相似,考虑将其转化为$a^2 + 2ab + b^2$的形式,利用完全平方公式分解因式。

答案： 假设题目为：因式分解 $x^4 - 16$
1. 首先利用平方差公式 $a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，对于 $x^4 - 16$，可将其看作 $(x^2)^2-4^2$，则：
$x^4 - 16=(x^2 + 4)(x^2 - 4)$
2. 然后对 $x^2 - 4$ 继续分解，同样利用平方差公式，$x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)$
而 $x^2+4$ 在实数范围内不能再分解。
所以 $x^4 - 16=(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$
假设题目为：因式分解 $4x^2+12x + 9$
观察式子 $4x^2+12x + 9$，可将其转化为 $(2x)^2+2×2x×3 + 3^2$
根据完全平方公式 $a^2+2ab + b^2=(a + b)^2$，这里 $a = 2x$，$b = 3$，则：
$4x^2+12x + 9=(2x + 3)^2$
综上，若因式分解 $x^4 - 16$，答案为$(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$；若因式分解 $4x^2+12x + 9$，答案为$(2x + 3)^2$。