《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

4. 已知一个等腰三角形的两边长分别为 $3$ 和 $5$,则它的周长为(C)。
A.$11$
B.$13$
C.$11$或 $13$
D.$12$或 $13$

答案： C

5. 若实数 $x$,$y$ 满足 $|x - 4|+\sqrt{y - 10}= 0$,则以 $x$,$y$ 的值为边长的等腰三角形的周长为24。

答案： 24 提示:根据题意,得x - 4 = 0,y - 10 = 0.解得x = 4,y = 10.①当腰长为4时,三角形的三边长分别为4,4,10,4 + 4 = 8 ＜ 10,不能组成三角形;②当底边长为4时,三角形的三边长分别为4,10,10,能组成三角形,周长为4 + 10 + 10 = 24.

6. 等腰三角形中,一边与另一边之比为 $3:2$,这个三角形周长为 $56$,求腰长是多少？

答案： 解:
∵　等腰三角形中,一边与另一边之比为3:2,
∴　设两边分别为3x,2x.根据题意,得3x + 3x + 2x = 56或3x + 2x + 2x = 56.解得x = 7或x = 8.当x = 7时,腰长3x = 21,底边长2x = 14;当x = 8时,腰长2x = 16,底边长3x = 24.这两种情况均满足三角形的三边关系.
∴　腰长为21或16.

例 3
在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$AB$ 的垂直平分线与 $AC$ 所在直线的夹角为 $50°$,则这个等腰三角形的顶角为(C)。
A.$40°$
B.$50°$
C.$40°$或 $140°$
D.$50°$或 $130°$

答案： C　提示:①如图74,当△ABC是锐角三角形时,DE是AB的垂直平分线,∠ADE = 90°.又∠AED = 50°,所以∠A = 90° - ∠AED = 40°.②如图75,当△ABC是钝角三角形时,DE是AB的垂直平分线，DE交CA的延长线于点F,∠ADF = 90°,又∠AFD = 50°,所以∠DAF = 90° - ∠AFD = 40°.故∠DAC = 180° - ∠DAF = 140°.

7. 在 $\triangle ABC$ 中,$AC = BC$,$AD\perp BC$ 于点 $D$,$\angle CAD = 40°$,则 $\angle B$ 的度数是65°或25°。

答案： 65°或25°　提示:当△ABC为锐角三角形时,∠C = 90° - 40° = 50°,∠B = $\frac{1}{2}$×(180° - 50°)= 65°;当△ABC为钝角三角形时,∠DCA = 90° - 40° = 50°,∠B = $\frac{1}{2}$∠DCA = 25°.

8. 在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$AB$ 的垂直平分线交 $AB$ 于点 $D$,交直线 $AC$ 于点 $E$,连接 $BE$,$\angle AEB = 80°$。求 $\angle EBC$ 的度数。

答案： 解:①当△ABC为锐角三角形时,则点E在边AC上.
∵　DE垂直平分AB,
∴　AE = BE.
∴　∠BAC = ∠ABE.
∵　∠AEB = 80°,
∴　∠BAC = ∠ABE = $\frac{1}{2}$(180° - ∠AEB)= 50°.
∵　AB = AC,
∴　∠ABC = $\frac{1}{2}$(180° - ∠BAC)= 65°.
∴　∠EBC = ∠ABC - ∠ABE = 15°.②当△ABC为钝角三角形时,则点E在CA的延长线上.
∵　DE垂直平分AB,
∴　AE = BE.
∴　∠BAE = ∠ABE.
∵　∠AEB = 80°.
∴　∠BAE = ∠EBA = $\frac{1}{2}$(180° - ∠AEB)= 50°.
∴　∠BAC = 180° - ∠BAE = 130°.
∵　AB = AC,
∴　∠ABC = $\frac{1}{2}$(180° - ∠BAC)= 25°.
∴　∠EBC = ∠EBA + ∠ABC = 75°.
∴　∠EBC的度数为15°或75°.