《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

3. 如图7,用直尺和圆规作$ \angle MAN $的角平分线,连接$ DE 交 AF 于点 O $.下列结论不一定正确的是(B).

A.$ AD = AE $
B.$ AD = DF $
C.$ OD = OE $
D.$ AF \perp DE $

答案： B 提示:由作图痕迹可知,AD=AE,DF=EF，所以AF垂直平分DE.

4. [2025江苏连云港中考]如图8,在$ \triangle ABC $中,$ BC = 7 $,$ AB 的垂直平分线分别交 AB $,$ BC 于点 D $,$ E $,$ AC 的垂直平分线分别交 AC $,$ BC 于点 F $,$ G $,$ \triangle AEG $的周长为(7).
A.5
B.6
C.7
D.8

答案： C 提示:由线段垂直平分线的性质，得AE=BE,AG=CG.所以△AEG的周长为AE+EG+AG=BE+EG+CG=BC=7.

5. “如果$ |a| = |b| $,那么$ a = b $”的逆命题是如果a=b,那么|a|=|b|.

答案： 如果a=b,那么|a|=|b|

6. [教材第67页练习第1题变式]如图9,在$ \triangle ABC $中,$ AD \perp BC 交 BC 于点 D $,$ EF 垂直平分 AC $,交$ AC 于点 F $,交$ BC 于点 E $,且$ BD = DE $,连接$ AE $.
(1)求证$ AB = EC $.
(2)已知$ \triangle ABC 的周长为 20\mathrm{cm} $,$ AC = 8\mathrm{cm} $,求$ DC $的长.

答案：
(1)证明:
∵ EF垂直平分AC,
∴ AE=EC.
∵ AD⊥BC,BD=DE,
∴ AD垂直平分BE.
∴ AB=AE.
∴ AB=EC.
(2)解:
∵ △ABC的周长为20cm,
∴ AB+BC+AC=20(cm).
∵ AC=8cm,
∴ AB+BC=12(cm).
∵ AB=EC,BD=DE,
∴ DC=DE+EC=$\frac{1}{2}$BE+$\frac{1}{2}$EC+$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{2}$BC+$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$(AB+BC)=$\frac{1}{2}$×12=6(cm).

7. 如图10,$ \triangle ABC 的边 BC 的垂直平分线 DE 与 \angle BAC 的平分线交于点 E $,$ EF \perp AB $,交$ AB 的延长线于点 F $,$ EG \perp AC 于点 G $.
(1)求证$ BF = CG $.
(2)求证$ AB + AC = 2AG $.

答案：

(1)证明:如图46,连接BE,EC.
∵ ED垂直平分BC,
∴ BE=CE.
∵ EF⊥AB,EG⊥AG,且AE平分∠FAG,
∴ ∠BFE=∠CGE = 90°,EF = EG. 在Rt△BFE和Rt△CGE中,{BE=CE,EF=EG,
∴ Rt△BFE≌Rt△CGE(HL).
∴ BF=CG.
(2)
∵ EF⊥AB,EG⊥AG,
∴ ∠AFE=∠AGE=90°.在Rt△AFE和Rt△AGE中,{AE=AE,EF=EG,
∴ Rt△AFE≌Rt△AGE(HL).
∴ AF=AG.
∵ AB+AC=AB+CG+AG,BF=CG,
∴ AB+AC=AB+BF+AG=AF+AG=2AG.