《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

16.(12 分)[2024 湖南长沙中考]
先化简,再求值：$2m - m(m - 2) + (m + 3)(m - 3)$,其中$m = \frac{5}{2}$.

答案： 解:$2m-m(m-2)+(m+3)(m-3)=2m-m^{2}+2m+m^{2}-9=4m-9$.当$m=\frac{5}{2}$时,原式$=4× \frac{5}{2}-9=10-9=1$.

17.(12 分)[生活情境]如图 4,某小区有一块长为$(2a + 4b)m$,宽为$(2a - b)m$的长方形地块,长方形地块的四个角上是边长为$(a - b)m$的小正方形空地,小区计划将阴影部分进行绿化.
(1)用含有$a$,$b$的式子表示绿化的面积(结果写成最简形式).
(2)已知$a = 2$,$b = 1$,求绿化的面积.

答案： 解:
(1)根据题意,得绿化的面积为$(2a-b)\cdot (2a+4b)-4(a-b)^{2}=4a^{2}+8ab-2ab-4b^{2}-4(a^{2}-2ab+b^{2})=4a^{2}+6ab-4b^{2}-4a^{2}+8ab-4b^{2}=(14ab-8b^{2})m^{2}$.
(2)当$a=2$,$b=1$时,原式$=14× 2× 1-8× 1^{2}=20$.因此绿化的面积为$20m^{2}$.

18.(20 分)探究与运用
【问题提出】在数学探究交流课上,小明提出了一个快速算出$75×75$的方法：“先用$100×7×8$,再加上 25,算得 5625,5625 就是$75×75$的结果.”小明提出的方法引发了小丽的兴趣. 她通过查阅资料,围绕“两个两位数相乘的积”的运算规律开展了一系列探究活动.
【阅读材料】用$\overline{ab}$表示一个两位数,$a$代表十位上的数,$b$代表个位上的数,即$\overline{ab} = 10a + b$.
(1)根据阅读材料,可知：$\overline{a5} = $ ______ .(用含$a$的代数式表示)
【观察思考】请观察下列运算：
$15×15 = 100×1×2 + 5×5 = 225$,
$25×25 = 100×2×3 + 5×5 = 625$,
$35×35 = 100×3×4 + 5×5 = 1225$,
……
(2)通过观察上面的运算,猜想：
$\overline{a5}×\overline{a5} = $ ______ $+ 5×5$.
【推理证明】(3)结合以上内容,请你证明(2)中的猜想.
【拓展探究】(4)如果$b + c = 10$,类比上述探究过程,请你用一个式子表示速算$\overline{ab}×\overline{ac}$的方法,并证明你的结论.
(1)10a+5
(2)100a(a+1)
(3)证明：左边$=\overline{a5}× \overline{a5}=(10a+5)^{2}=100a^{2}+100a+25$，右边$=100a\cdot (a+1)+5× 5=100a^{2}+100a+25$，左边=右边，所以$\overline{a5}× \overline{a5}=100a\cdot (a+1)+5× 5$。
(4)$\overline{ab}× \overline{ac}=100a(a+1)+bc$。证明：因为$b+c=10$，所以$\overline{ab}× \overline{ac}=(10a+b)(10a+c)=100a^{2}+10a\cdot (b+c)+bc=100a^{2}+100a+bc$。因为$100a\cdot (a+1)+bc=100a^{2}+100a+bc$，所以$\overline{ab}× \overline{ac}=100a(a+1)+bc$。

答案： 解:
(1)$10a+5$
(2)$100a(a+1)$
(3)左边$=\overline{a5}× \overline{a5}=(10a+5)^{2}=100a^{2}+100a+25$,右边$=100a\cdot (a+1)+5× 5=100a^{2}+100a+25$,左边=右边,所以$\overline{a5}× \overline{a5}=100a\cdot (a+1)+5× 5$.
(4)$\overline{ab}× \overline{ac}=100a(a+1)+bc$.证明:因为$b+c=10$,所以$\overline{ab}× \overline{ac}=(10a+b)(10a+c)=100a^{2}+10a\cdot (b+c)+bc=100a^{2}+100a+bc$.因为$100a\cdot (a+1)+bc=100a^{2}+100a+bc$,所以$\overline{ab}× \overline{ac}=100a(a+1)+bc$.