《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

8. 对于实数$a$,$b$,$c$,规定:若$a^{c}= b$,则$(a,b)= c$.例如:因为$2^{3}= 8$,所以$(2,8)= 3$.
(1)根据上述规定,填空:$(3,27)=$3.
(2)记$(3,5)= a$,$(3,6)= b$,$(3,30)= c$,求证$a+b= c$.
证明:由$(3,5)=a$,$(3,6)=b$,$(3,30)=c$,得$3^{a}=5$,$3^{b}=6$,$3^{c}=30$.因为$30=5×6=3^{a}×3^{b}=3^{a+b}$,所以$3^{a+b}=3^{c}$.故$a+b=c$．

答案：
(1)3 提示:由$3^{3}=27$,得(3,27)=3．
(2)证明:由(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c,得$3^{a}=5$,$3^{b}=6$,$3^{c}=30$.因为$30=5×6=3^{a}×3^{b}=3^{a+b}$,所以$3^{a+b}=3^{c}$.故$a+b=c$．

1. 幂的乘方,底数不变,指数相乘.用式子表示为$(a^{m})^{n}= $$a^{mn}$(m,n都是正整数).
2. 积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.用式子表示为$(ab)^{n}= $$a^{n}b^{n}$(n是正整数).

答案： 1. 不变 相乘 $a^{mn}$
2. 乘方 相乘 $a^{n}b^{n}$

1. 计算$(10^{6})^{2}$的结果是(C).
A.$10^{6}$
B.$10^{8}$
C.$10^{12}$
D.$10^{36}$

答案： C

2. (1)填空：$(a^{m}b^{n})^{3}= a^{(m)×(3)}·b^{(n)×(3)}= a^{(3m)}b^{(3n)}$.
(2)若$(a^{m}b^{n})^{3}= a^{9}b^{15}$,则$m= $3,$n= $5.

答案：
(1)m 3 n 3 3m 3n
(2)3 5

例1 [教材第100页例2变式]计算：
(1)$(10^{4})^{6}$；(2)$(x^{7})^{6}$；(3)$(a^{n + 1})^{2}$(n是正整数)；(4)$[(-p)^{7}]^{3}$.

答案： 解：
(1)$(10^{4})^{6}=10^{4×6}=10^{24}$．
(2)$(x^{7})^{6}=x^{7×6}=x^{42}$．
(3)$(a^{n+1})^{2}=a^{2(n+1)}=a^{2n+2}$．
(4)$[(-p)^{7}]^{3}=(-p)^{7×3}=(-p)^{21}=-p^{21}$．