《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

16. (14 分)[教材第 132 页习题 17.2 第 5 题变式]先分解因式,再求值：$(m^{2}+n^{2})^{2}-4m^{2}n^{2}$,其中 $m+n= 4$,$m-n= 7$.

答案： 解：$(m^{2}+n^{2})^{2}-4m^{2}n^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}-(2mn)^{2}=(m^{2}+n^{2}+2mn)(m^{2}+n^{2}-2mn)=(m+n)^{2}(m-n)^{2}$. 当$m+n=4$，$m-n=7$时，原式$=4^{2}×7^{2}=784$.

17. (15 分)[生活情境·教材第 136 页第 6 题变式]某农场修建一座小型水库,需要一种空心混凝土管,它的规格是内径 $d= 0.45$ m,外径 $D= 0.75$ m,长 $L= 3$ m,如图 3. 利用因式分解,计算浇制一节这样的混凝土管需要多少立方米的混凝土(结果保留 $\pi$).

答案： 解：根据题意，得$\pi\cdot\left(\frac{D}{2}\right)^{2}\cdot L-\pi\cdot\left(\frac{d}{2}\right)^{2}\cdot L=\pi L\left(\frac{D}{2}+\frac{d}{2}\right)\left(\frac{D}{2}-\frac{d}{2}\right)=\pi×3×\frac{0.75+0.45}{2}×\frac{0.75-0.45}{2}=\pi×3×0.6×0.15=0.27\pi(m^{3})$. 答：浇制一节这样的混凝土管需要$0.27\pi\ m^{3}$的混凝土.

18. (20 分)[教材第 136 页复习题 17 第 8 题变式]理解与应用
【阅读材料】因式分解常用的方法有提取公因式法和公式法,但有的多项式直接使用上述方法无法分解,如 $x^{2}-4y^{2}-2x+4y$.观察这个式子,可以发现前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的因式分解.具体过程为：
$\begin{aligned}x^{2}-4y^{2}-2x+4y&= (x+2y)(x-2y)-2(x-2y)\\&=(x-2y)(x+2y-2).\end{aligned} $
上述分解因式用到了分组的思想,通过合理分组,将复杂的代数式转化为更易处理的形式,从而简化问题.
【类比探究】
(1)分解因式：$x^{2}-9y^{2}-2x+6y= $$(x-3y)(x+3y-2)$.
【解决问题】
(2)已知 $\triangle ABC$ 的三边 $a$,$b$,$c$ 满足 $a^{2}-b^{2}-ac+bc= 0$,请判断 $\triangle ABC$ 的形状,并说明理由.
$\triangle ABC$是等腰三角形.理由如下：因为$a^{2}-b^{2}-ac+bc=(a^{2}-b^{2})-(ac-bc)=(a+b)(a-b)-c(a-b)=(a-b)(a+b-c)$，所以$(a-b)(a+b-c)=0$，即$a-b=0$或$a+b-c=0$.又因为三角形任意两边之和大于第三边，所以$a+b-c\neq0$.所以$a=b$.所以$\triangle ABC$是等腰三角形.
(3)已知 $a-b= 6$,$ab+c^{2}-4c+13= 0$,求 $a+b+c$ 的值.
依题意，可得$a=b+6$，代入$ab+c^{2}-4c+13=0$，得$(b+6)b+c^{2}-4c+13=(b^{2}+6b+9)+(c^{2}-4c+4)=0$，即$(b+3)^{2}+(c-2)^{2}=0$，所以$b+3=0$，$c-2=0$.所以$b=-3$，$c=2$，$a=b+6=3$.所以$a+b+c=3-3+2=2$.

答案： （1）$(x-3y)(x+3y-2)$ 提示：原式$=(x^{2}-9y^{2})-(2x-6y)=(x+3y)(x-3y)-2(x-3y)=(x-3y)(x+3y-2)$. （2）$\triangle ABC$是等腰三角形.理由如下：因为$a^{2}-b^{2}-ac+bc=(a^{2}-b^{2})-(ac-bc)=(a+b)(a-b)-c(a-b)=(a-b)(a+b-c)$，所以$(a-b)(a+b-c)=0$，即$a-b=0$或$a+b-c=0$.又因为三角形任意两边之和大于第三边，所以$a+b-c\neq0$.所以$a=b$.所以$\triangle ABC$是等腰三角形. （3）依题意，可得$a=b+6$，代入$ab+c^{2}-4c+13=0$，得$(b+6)b+c^{2}-4c+13=(b^{2}+6b+9)+(c^{2}-4c+4)=0$，即$(b+3)^{2}+(c-2)^{2}=0$，所以$b+3=0$，$c-2=0$.所以$b=-3$，$c=2$，$a=b+6=3$.所以$a+b+c=3-3+2=2$.