《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

2. 如图 1,某小区规划在边长为$x m$的正方形场地上,修建两条宽为$2m$的甬道,其余部分种草,则草地面积为(A)。

A.$x^2 - 4x + 4$
B.$x^2 - 2$
C.$x^2 - 2x$
D.$x^2 + 4x$

答案： A

3. 运用完全平方公式计算：
(1)$(a + 4b)^2$；
(2)$(2a - 3b)^2$；
(3)$(-2x - 3y)^2$；
(4)$96^2$。

答案： 解:
(1)原式$=a^{2}+2\cdot a\cdot (4b)+(4b)^{2}=a^{2}+8ab+16b^{2}$.
(2)原式$=(2a)^{2}-2\cdot (2a)\cdot (3b)+(3b)^{2}=4a^{2}-12ab+9b^{2}$.
(3)原式$=(-2x)^{2}-2\cdot (-2x)\cdot 3y+(3y)^{2}=4x^{2}+12xy+9y^{2}$.
(4)原式$=(100-4)^{2}=100^{2}-2×4×100+4^{2}=9216$.

4. [2024 陕西中考]先化简,再求值：
$(x + y)^2 + x(x - 2y)$,其中$x = 1$,$y = -2$。

答案： 解:$(x+y)^{2}+x(x-2y)=x^{2}+2xy+y^{2}+x^{2}-2xy=2x^{2}+y^{2}$.当$x=1,y=-2$时,原式$=2×1^{2}+(-2)^{2}=6$.

5. [教材第 117 页习题 16.3 第 5 题变式]一张圆形纸片的半径减少$3cm$,它的面积就减少$51πm^2$,则这张圆形纸片原来的半径是10$cm$。

答案： 10 提示:设圆形纸片原来的半径是$r$cm,由题意,得$\pi r^{2}-\pi(r-3)^{2}=51\pi$,即$\pi r^{2}-\pi r^{2}+6\pi r-9\pi=51\pi$.整理得$6\pi r-9\pi=51\pi$.解得$r=10$.

6. [教材第 118 页习题 16.3 第 7 题变式]若$a - b = 10$,$ab = 5$,则$a^2 + b^2$的值为110。

答案： 110 提示:因为$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$,所以$100=a^{2}-2×5+b^{2}$.所以$a^{2}+b^{2}=110$.

7. 探究与应用

【阅读材料】对于一个图形,我们可以用不同的方法计算它的面积,由此可以得到一个数学等式。例如：如图 2,大正方形的面积可以用$(a + b)^2$,$a^2 + 2ab + b^2$表示,由此可得$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
【类比分析】(1)写出图 3 阴影部分的面积所表示的数学等式：$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$。
(2)写出图 4 大正方形的面积所表示的数学等式：$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$。
【拓展应用】(3)利用上述结论,解决问题：已知$a + b + c = 12$,$bc + ac + ab = 47$,求$a^2 + b^2 + c^2$的值。


由(2)可知$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$，所以$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+ac+bc)$。又$a+b+c=12$，$bc+ac+ab=47$，所以$a^{2}+b^{2}+c^{2}=12^{2}-2×47=50$。

答案： 解:
(1)$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
(2)$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$
(3)由
(2)可知$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$,所以$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+ac+bc)$.又$a+b+c=12,bc+ac+ab=47$,所以$a^{2}+b^{2}+c^{2}=12^{2}-2×47=50$.