《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

4. [教材第 105 页例 2 变式]计算：
(1)[2025 广西中考]$a(a - 1)+a$；
(2)$(n^{2}-3m^{2}+2mn)\cdot (-2m)^{2}$；
(3)$x + 2x(x + 1)-3x(2x - 5)$。

答案： （1）原式$=a^{2}-a+a=a^{2}$.（2）原式$=(n^{2}-3m^{2}+2mn)\cdot 4m^{2}=4m^{2}n^{2}-12m^{4}+8m^{3}n$.（3）原式$=x+2x^{2}+2x-6x^{2}+15x=-4x^{2}+18x$.

5. [教材第 106 页练习第 4 题变式]先化简,再求值：$3a(2a^{2}-4a + 3)-2a^{2}(3a + 4)$,其中$a = -2$。

答案： 解：原式$=3a\cdot 2a^{2}+3a\cdot (-4a)+3a\cdot 3-2a^{2}\cdot (3a)-2a^{2}\cdot 4=6a^{3}-12a^{2}+9a-6a^{3}-8a^{2}=-20a^{2}+9a$.当$a=-2$时，原式$=-20× (-2)^{2}+9× (-2)=-98$.

6. 已知$(-x)(2x^{2}-ax - 1)-2x^{3}+3x^{2}中不含x$的二次项,则$a$的值是(C)。
A.$3$
B.$2$
C.$-3$
D.$-2$

答案： C 提示：原式$=-2x^{3}+ax^{2}+x-2x^{3}+3x^{2}=-4x^{3}+(a+3)x^{2}+x$.因为$-4x^{3}+(a+3)x^{2}+x$不含$x$的二次项，所以$a+3=0$.所以$a=-3$.

7. 小明在计算某一个多项式乘$-3x^{2}$时,因抄错运算符号,写成了加上$-3x^{2}$,结果算得$x^{2}-4x + 1$,那么原题正确的计算结果是$-12x^{4}+12x^{3}-3x^{2}$。

答案： $-12x^{4}+12x^{3}-3x^{2}$ 提示：由题意可知，这个多项式为$x^{2}-4x+1-(-3x^{2})=4x^{2}-4x+1$.所以正确的计算结果为$-3x^{2}(4x^{2}-4x+1)=-12x^{4}+12x^{3}-3x^{2}$.

8. [教材第 111 页习题 16.2 第 9 题变式·数形结合]
如下图,将边长为$a的正方形ABCD和边长为b的正方形CEFG放在同一平面上(b ＞ a ＞ 0)$。
(1)用含$a$,$b$的式子表示：(结果需要化简)
①$\triangle ADG$的面积为$\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^{2}$；
②阴影部分的面积为$\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}$。
(2)当$a = 2$,$b = 3$时,求阴影部分的面积。
解：当$a=2$，$b=3$时，$\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}=\frac{1}{2}× 4+\frac{1}{2}× 2× 3+\frac{1}{2}× 9=9.5$，故阴影部分的面积为9.5.
(3)请你说明$\triangle AEG的面积与a$的大小无关。
解：$\triangle AEG$的面积$=$正方形$ABCD$的面积$+$正方形$CEFG$的面积$+\triangle ADG$的面积$-$阴影部分的面积$=a^{2}+b^{2}+\frac{1}{2}a(b-a)-\left[\frac{1}{2}a(a+b)+\frac{1}{2}b^{2}\right]=a^{2}+b^{2}+\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^{2}-\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}\right)=\frac{1}{2}b^{2}$.故$\triangle AEG$的面积与$a$的大小无关.

答案： （1）① $\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^{2}$ 提示：由题意，得$AD=a$，$DG=CG-CD=b-a$.故$\triangle ADG$的面积$=\frac{1}{2}AD\cdot DG=\frac{1}{2}a(b-a)=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^{2}$. ② $\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}$ 提示：由题意，得$AB=a$，$BE=BC+CE=a+b$，$FG=EF=b$.故图中阴影部分的面积$=\triangle AEB$的面积$+\triangle EFG$的面积$=\frac{1}{2}AB\cdot BE+\frac{1}{2}EF\cdot FG=\frac{1}{2}a(a+b)+\frac{1}{2}b^{2}=\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}$.（2）解：当$a=2$，$b=3$时，$\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}=\frac{1}{2}× 4+\frac{1}{2}× 2× 3+\frac{1}{2}× 9=9.5$，故阴影部分的面积为9.5.（3）解：$\triangle AEG$的面积$=$正方形$ABCD$的面积$+$正方形$CEFG$的面积$+\triangle ADG$的面积$-$阴影部分的面积$=a^{2}+b^{2}+\frac{1}{2}a(b-a)-\left[\frac{1}{2}a(a+b)+\frac{1}{2}b^{2}\right]=a^{2}+b^{2}+\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^{2}-\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}\right)=\frac{1}{2}b^{2}$.故$\triangle AEG$的面积与$a$的大小无关.