《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

13. 如图 11,$∠AOB = \alpha$,以$O$为圆心,任意长为半径作弧,分别交$OA$,$OB于点C$,$D$；画射线$O'A'$,以点$O'$为圆心,$OC为半径作弧交O'A'于点C'$；依次截取$C'E = EF = FG = CD$,分别交前弧于点$E$,$F$,$G$；画射线$O'G$,反向延长$O'A'至点H$；画出$∠HO'G的角平分线O'M$。则$∠MO'H = $$\frac{180^{\circ}-3\alpha}{2}$。(结果用含$\alpha$的代数式表示)

答案： $\frac{180^{\circ}-3\alpha}{2}$ 提示:连接 O'E,O'F,由尺规作图可知,∠C'O'E=∠EO'F=∠FO'G=∠AOB=α,所以∠A'O'G=3α.因此∠HO'G=180° - ∠A'O'G=180° - 3α.因为 O'M 平分∠HO'G,所以∠MO'H=$\frac{1}{2}\angle HO'G=\frac{180^{\circ}-3\alpha}{2}$.

14. [2023 重庆中考] 如图 12,在$Rt\triangle ABC$中,$∠BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,点$D为BC$上一点,连接$AD$。过点$B作BE \perp AD于点E$,过点$C作CF \perp AD交AD的延长线于点F$。若$BE = 4$,$CF = 1$,则$EF$的长为____3。

答案： 3 提示:由 BE⊥AD,CF⊥AD,得∠BEA=∠AFC=90°.所以∠BAE+∠ABE=90°.又∠ABC=90°,即∠BAE+∠CAF=90°,所以∠ABE=∠CAF.又 AB=AC,所以△ABE≌△CAF(AAS).所以 AF=BE=4,AE=CF=1.所以 EF=AF - AE=4 - 1=3.

15. (14 分)如图 13,在$\triangle ABC$中,$AB = a$,$BC = b$,请用直尺和圆规完成下列作图(只保留作图痕迹,不要求写出作法)：

(1)求作$\triangle ABC的角平分线BP$。
(2)求作$\triangle DEF$,使$DE = DF = b$,$EF = a$。

答案：
解:
(1)如图 43,线段 BP 就是所求作的角平分线.
　　　　
(2)如图 44,△DEF 就是所求作的三角形.
　　　　

16. (14 分)小明有一个两层型滑梯模型,图 14 是该模型的示意图,每层滑梯的高度相同($EH = DH$),都为 20 cm,他想知道左右两个滑梯$BC和EF$的长度是否相等,于是制订了如下方案：
| 课题 | 探究模型的两个滑梯的长度是否相等 |
| 测量工具 | 卷尺 |
| 测量步骤 | ①测量出$FD$的长度②测量出$AB$的长度 |
| 测量数据 | $DF = 20$ cm,$AB = 40$ cm |
(1)根据小明的测量方案和数据,判断两个滑梯$BC和EF$的长度是否相等,并说明理由。
(2)试猜想左右两个滑梯$BC和EF$所在直线的位置关系,并加以证明。

答案： 解:
(1)BC=EF.理由:由题意可知,∠CAB=∠EDF=90°,EH=DF=DH=AC=20cm,AB=40cm,
∴ DE=20 + 20=40(cm).在△ABC 和△DEF 中,$\left\{\begin{array}{l}AB=DE\\ \angle CAB=\angle FDE\\ AC=DF\end{array}\right.$,
∴ △ABC≌△DEF(SAS).
∴ BC=EF,即 BC 和 EF 的长度相等.
(2)BC⊥EF.证明:延长 BC 交 EF 于点 G.
∵ △ABC≌△DEF,
∴ ∠BCA=∠EFD.由题意可知,∠BAC=90°,
∴ ∠CBA+∠BCA=90°.
∴ ∠CBA+∠EFD=90°.
∴ ∠BGF=90°,即 BC⊥EF.